1、12.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】 知识点、方法 题号空间中直线之间的位置关系 1,4,5平行公理与等角定理 2,8,13异面直线所成的角 3,6,7,9,10,11,121.(2018陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面 (D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选 C.2.在三棱锥 P ABC 中,PC 与 AB 所成的角为 70,E,F,G 分别为 PA,PB,AC 的中点,则FEG 等于( D )(A)20 (B)70(C)110 (D)7
2、0或 110解析:因为 E,F,G 分别为 PA,PB,AC 的中点,所以 EFAB,EGPC,所以FEG 或其补角为异面直线 PC 与 AB 所成的角,又 AB 与 PC 所成的角为 70,所以FEG 为 70或 110.3.如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,若 EF= ,求异面直线AD,BC 所成角是( C )(A)30 (B)45(C)60 (D)120解:如图,取 BD 的中点 M,连接 EM,FM.因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点,所以 EM AD,FM BC,2则EMF 或其补角就是异面直线 AD,BC 所成的角.因为 A
3、D=BC=2,所以 EM=MF=1,在等腰MEF 中,过点 M 作 MHEF 于 H,在 RtMHE 中,EM=1,EH= EF= ,则 sinEMH= ,于是EMH=60,则EMF=2EMH=120.所以异面直线 AD,BC 所成的角为EMF 的补角,即异面直线 AD,BC 所成的角为 60.故选 C.4.已知异面直线 a,b 分别在平面 , 内,且 =c,那么直线 c 一定( C )(A)与 a,b 都相交(B)只能与 a,b 中的一条相交(C)至少与 a,b 中的一条相交(D)与 a,b 都平行解析:如图,a与 b 异面,但 ac,故 A 错;a 与 b 异面,且都与 c 相交,故 B
4、错;若ac,bc,则 ab,与 a,b 异面矛盾,故 D 错.5.如图,三棱柱 ABC A1B1C1中,底面三角形 A1B1C1是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与 B1E 是异面直线(B)C1C 与 AE 共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE 与 B1C1所成的角为 60解析:由于 CC1与 B1E 都在平面 C1B1BC 内,故 C1C 与 B1E 是共面的,所以 A 错误;由于 C1C 在平面 C1B1BC 内,而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点,点 E 不在 C1C 上,故 C1C 与 AE 是异面直线,B错误;同理 AE 与
5、 B1C1是异面直线,C 正确;而 AE 与 B1C1所成的角就是 AE 与 BC 所成的角,E为 BC 中点,ABC 为正三角形,所以 AEBC,D 错误.故选 C.6.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,D,E 分别是 VB,VC 的中点,则异面直线DE 与 AB 所成的角为 . 3解析:因为 D,E 分别是 VB,VC 的中点,所以 BCDE,因此ABC 是异面直线 DE 与 AB 所成的角,又因为 AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,所以ABC 是以ACB 为直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故异面直线 DE 与 AB 所成的角为 45.
6、答案:457.如图所示,已知正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是 AD,AA1的中点.(1)直线 AB1和 CC1所成的角为 ; (2)直线 AB1和 EF 所成的角为 . 解析:(1)因为 BB1CC 1,所以AB 1B 即为异面直线 AB1与 CC1所成的角,AB 1B=45.(2)连接 B1C,易得 EFB 1C,所以AB 1C 即为直线 AB1和 EF 所成的角.连接 AC,则AB 1C 为正三角形,所以AB 1C=60.答案:(1)45 (2)608.如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD,BC 成 60的角,且 AD=BC=a,平行于 AD 与 BC 的截面分别交
7、 AB,AC,CD,BD 于点 E,F,G,H,E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?解:因为 AD 与 BC 成 60角,所以HGF=60或 120.设 AEAB=x,则 = =x.又 BC=a,所以 EF=ax.4由 = =1-x,得 EH=a(1-x).所以 S 四边形 EFGH=EFEHsin 60=axa(1-x) = a2(-x2+x)= a2-(x- )2+ .当 x= 时,S 最大值 = a2,即当 E 为 AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为 a2.9.如图所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H,I,J 分别为 A
8、F,AD,BE,DE 的中点,将ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,HG 与 IJ 所成角的度数为( B )(A)90 (B)60 (C)45 (D)0解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG 与 IJ 是一对异面直线.因为 IJAD,HGDF,所以 DF 与 AD 所成的角为 HG 与 IJ 所成的角,又ADF=60,所以 HG 与 IJ 所成的角为 60.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB 与 CM 所成的角为 60;EF 与 MN 是异面直线;MNCD.以上结论中正确结论的序号为 . 解析:还原成正方体如图所示,5可知正确.ABC
9、M,不正确.正确.MNCD.不正确.答案:11.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1中,M,N 分别是 A1B1,B1C1的中点,问(1)AM 和 CN 是否是异面直线?(2)D1B 和 CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于 M,N 分别是 A1B1和 B1C1的中点,可证明 MNAC,因此 AM 与 CN 不是异面直线.由空间图形可感知 D1B 和 CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1的中点,所以 MNA 1C1.又因为 A1A C1C,所以 A1ACC1为平行四边形.所以 A1C1AC,得到 MNAC
10、,所以 A,M,N,C 在同一个平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设 D1B 与 CC1在同一个平面 CC1D1D 内,则B平面 CC1D1D,C平面 CC1D1D.所以 BC平面 CC1D1D,这与 ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故 D1B 与 CC1是异面直线.12.如图,正方体 ABCD EFGH 中,O 为侧面 ADHE 的中心,求:(1)BE 与 CG 所成的角;(2)FO 与 BD 所成的角.解:(1)如图,因为 CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角,又BEF 中,EBF=45,所以
11、BE 与 CG 所成的角为 45.6(2)连接 FH,因为 HD EA,EA FB,所以 HD FB,所以四边形 HFBD 为平行四边形,所以 HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角.连接 HA,AF,易得 FH=HA=AF,所以AFH 为等边三角形,又依题意知 O 为 AH 的中点,所以HFO=30,即 FO 与 BD 所成的角是 30.13.如图,E,F,G,H 分别是三棱锥 A BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上的点,且 = =, = =.(1)若 =,判断四边形 EFGH 的形状;(2)若 ,判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 = ,且 EGHF,求 的值.解:(1)因为 = =,所以 EHBD,且 EH= BD. 又因为 = =.所以 FGBD,且 FG= BD. 又 =,所以 EH FG(公理 4).因此 = 时,四边形 EFGH 为平行四边形.(2)若 ,由,知 EHFG,但 EHFG,因此 时,四边形 EFGH 为梯形.(3)因为 =,所以四边形 EFGH 为平行四边形.又因为 EGHF,所以四边形 EFGH 为菱形.所以 FG=HG.所以 AC=(+1)HG= HG= FG,又 BD= FG=3FG,7所以 = .
