1、12.1.1 平 面【选题明细表】 知识点、方法 题号三种语言的转换 1,6公理的基本应用 2,3,4,5,9共点、共线、共面问题 7,8,10,11,12,131.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a,Aa A(B)a,Aa A(C)a,AaA(D)a,AaA解析:直线在平面内用“”,点在直线上和点在平面内用“”,故选 B.2.给出下列说法:(设 , 表示平面,l 表示直线,A,B,C 表示点)若 Al,A,B,Bl,则 l;若 A,A,B,B,则 =AB;若 l,Al,则 A,则正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3
2、 (D)4解析:中点 A 可以是直线与平面的交点,所以错误.,正确.故选 B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形 (B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理 2 可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选 D.4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )(A)5 部分 (B)6 部分 (C)7 部分 (D)8 部分解析:如图所示,三个平面 , 两两相交,交线分别是 a,b,c 且 abc,观察图形,得 , 把空间分成 7 部分.2故选 C.5.(2018昆明一中高一测试)如图
3、平面 平面 =直线 l,点 A,B,点 C,Cl,直线 ABl=D,过 A,B,C 三点确定平面 ,则 与 的交线必过( D )(A)点 A (B)点 B(C)点 C 但不过点 D (D)点 C 和点 D解析:因为 C,D,且 C,D,所以 与 的交线必过点 C 和 D.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A,a ; (2)=a,P 且 P ; (3)a,a=A ; (4)=a,=c,=b,abc=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (
4、3)A (4)B7.给出以下命题:和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;三条两两相交的直线在同一平面内;有三个不同公共点的两个平面重合;两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 . 解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故错.答案:08.如图,已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 8 cm,M,N,P 分别是 AB,A1D1,BB1的中点.(1)画出过 M,N,P 三点的平面与平
5、面 A1B1C1D1的交线以及与平面 BB1C1C 的交线;(2)设过 M,N,P 三点的平面与 B1C1交于点 Q,求 PQ 的长.解:(1)如图,设 M,N,P 三点确定的平面为 ,3则 与平面 ABB1A1交于 MP.设 MPA 1B1=R,则 RN 是 与平面 A1B1C1D1的交线.设 RNB 1C1=Q,则 PQ 是 与平面 BB1C1C 的交线.(2)因为正方体的棱长为 8 cm,M,P 分别为 AB,BB1的中点,所以 B1R=BM=4 cm.在RA 1N 中, = ,所以 B1Q= 4= (cm).在 RtPB 1Q 中,PB1=4 cm,B1Q= cm,所以 PQ= = (
6、cm).9.(2018保定九校联考)长方体的 12 条棱所能确定的平面个数为( C )(A)8 (B)10 (C)12 (D)14解析:在长方体中由 12 条棱可构成长方体的 6 个面和 6 个对角面,共 12 个面.10.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析:在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PSQR,所以 P,Q,R,S 共面;在 C 图中分别连接 PQ,RS,易证 PQRS,所以 P,Q,R,S 共面;在 B 图中过 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;D 图中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,故选 D
7、.11.求证:两两相交且不共点的四条直线 a,b,c,d 共面.4证明:(1)无三线共点情况,如图(1). 设 ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为 ad=M,所以 a,d 可确定一个平面 .因为 Nd,Qa,所以 N,Q,所以 NQ,即 b.同理 c,所以 a,b,c,d 共面.(2)有三线共点的情况,如图(2).设 b,c,d 三线相交于点 K,与 a 分别交于 N,P,M 且 Ka,因为 Ka,所以 K 和 a 确定一个平面 ,设为 .因为 Na,a,所以 N.所以 NK,即 b.同理 c,d.所以 a,b,c,d 共面.由(1),(2)知 a,b,c,d 共
8、面.12.如图,空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 中点,F,G 分别是 BC,CD 上的点,且 = =.求证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点.证明:因为 E,H 分别是 AB,AD 中点,所以 EH BD,因为 = = ,所以 GFBD,GF= BD,所以 EHGF 且 EHGF,所以四边形 EFGH 为梯形,所以两腰 EF,GH 交于一点,记为 P.因为 EF平面 ABC,所以 P平面 ABC,5同理 P平面 ADC,所以 P 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上,所以三条直线 EF,GH,AC 交于一点.13.如图,已知正方体 ABCD A1B1C1D
9、1的棱长为 3,M,N 分别是棱 AA1,AB 上的点,且 AM=AN=1.(1)证明:M,N,C,D 1四点共面;(2)平面 MNCD1将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.(1)证明:连接 A1B,在四边形 A1BCD1中,A 1D1BC 且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1是平行四边形,所以 A1BD 1C,在ABA 1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以 = ,所以 MNA 1B,所以 MND 1C,所以 M,N,C,D1四点共面.(2)解:记平面 MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为 V1,上面部分体积为 V2,连接D1A,D1N,DN,则几何体 D1 AMN,D1 ADN,D1 CDN 均为三棱锥,所以 V1= + += SAMN D1A1+ SADN D1D+ SCDN D1D= 3+ 3+ 3= .从而 V2= - =27- = ,6所以 = ,所以平面 MNCD1分此正方体的两部分体积的比为 .
