1、1第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测试卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1i 是虚数单位，若集合 S1,0,1，则( )Ai S Bi 2 SCi 3 S D. S2i答案 B2设 z1， z2为复数，则下列结论中正确的是( )A若 z z 0，则 z z21 2 21 2B| z1 z2| z1 z22 4z1z2C z z 0 z1 z2021 2D z1 是纯虚数或零z1答案 D解析 举例说明：若 z14i， z222i，则 z 158i， z 8i， z z 0，但 z21 2 21 2与 z 都是虚数，不能比
2、较大小，故 A错；因为| z1 z2|2不一定等于( z1 z2)2，故21 2|z1 z2|与 不一定相等，B 错；若 z1 2i， z212i，则z1 z22 4z1z2z 34i， z 34i， z z 0，但 z1 z20 不成立，故 C错；设21 2 21 2z1 a bi(a， bR)，则 a bi，故 z1 2 bi，当 b0 时是零，当 b0 时，是纯虚z1 z1数3如图，在复平面内，点 A表示复数 z，则图中表示 z的共轭复数的点是( )A A B B C C D D答案 B解析 由共轭复数的定义可得4复数 等于( )2 i31 2iAi Bi2C2 i D2 i2 2答案
3、A解析 i.2 i31 2i 2 i1 2i 2 ii1 2ii 2 ii2 i5. 是 z的共轭复数若 z 2，( z )i2(i 是虚数单位)，则 z等于( )z z zA1i B1i C1i D1i答案 D解析 设 z a bi(a， bR)，则 z 2 a2，得 a1.z(z )i2 bi22，得 b1，z z1i.6设复数 z满足 i，则|1 z|的值为( )1 z1 zA0 B1 C. D22答案 C解析 由 i，得 z i，1 z1 z 1 i1 i|1 z|1i| .27已知 f(n)i ni n(nN )，则集合 f(n)的元素个数是( )A2 B3 C4 D无数个答案 B解
4、析 f(n)有三个值 0,2i，2i.8已知关于复数 z 的四个命题： p1：| z|2， p2： z22i， p3： z的共轭复数为21 i1i， p4： z在复平面内对应的点位于第四象限其中的真命题为( )A p2， p3 B p1， p4C p2， p4 D p3， p4答案 D解析 z 1i，21 i 21 i1 i1 ip1：| z| .1 12 2p2： z2(1i) 22i.p3： z的共轭复数为 1i，真命题p4： z在复平面内对应点的坐标为(1，1)，位于第四象限，真命题故选 D.39已知复数 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A(0,1)， B(1,3)，则 等于( )
5、z2z1A3i B3iC13i D3i答案 A解析 z1i， z213i， 3i.z2z1 1 3ii10已知 是复数 z的共轭复数， z z 0，则复数 z在复平面内对应的点的轨迹是( )z z zA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案 A解析 设 z x yi(x， yR)，则 z 2 x， z x2 y2，所以由 z z 0，得z z z zx2 y22 x0，即( x1) 2 y21，故选 A.11已知 a为实数，若复数 z( a21)( a1)i 为纯虚数，则 的值为( )a i2 0161 iA1 B0 C1i D1i考点 题点 答案 D解析 复数 z( a21)( a1)i 为纯虚
6、数，可得 a1， 1i.a i2 0161 i 1 11 i 21 i1 i1 i12定义运算 ad bc，则符合条件 0 的复数 z的共轭复数 对应的|a bc d| |z 1 2i1 i 1 i| z点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 A解析 设复数 z a bi(a， bR)，由题意可得定义运算 ad bc，|a bc d|所以 z(1i)(12i)(1i)0，|z 1 2i1 i 1 i|代入整理可得( a b)( a b)i3i，解得 a2， b1，所以 z2i，所以 2i，z所以复数 z的共轭复数 对应的点在第一象限z4故选 A.二、填空题(本大题共 4小题
7、，每小题 5分，共 20分)13在复平面内，若 z m2(1i) m(4i)6i 所对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是_答案 (3,4)解析 z m24 m( m2 m6)i 所对应的点在第二象限，Error!解得 31i；虚轴上的点表示的数都是纯虚数；若一个数是实数，则其虚部不存在；若 z ，则 z31 对1i应的点在复平面内的第一象限答案 解析 由 y CR知 y是虚数，则Error!不成立，故错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数 0，故错误；实数的虚部为 0，故错误；中 z31 1i1，对应点在第一象限，故正确1i3三、解答题(本大题共 6小题
8、，共 70分)17(10 分)设复数 zlg( m22 m2)( m23 m2)i，当 m为何值时：(1)z是实数；(2) z是纯虚数5解 (1)要使复数 z为实数，需满足Error!解得 m2 或 m1.即当 m2 或 m1 时， z是实数(2)要使复数 z为纯虚数，需满足Error!解得 m3.即当 m3 时， z是纯虚数18(12 分)已知复数 z123i， z2 .求：15 5i2 i2(1)z1z2；(2) .z1z2解 z2 15 5i2 i2 15 5i3 4i 15 5i3 4i3 4i3 4i 13i，25 75i25则(1) z1z2(23i)(13i)79i.(2) z1
9、z2 2 3i1 3i 2 3i1 3i1 3i1 3i i.11 3i10 1110 31019(12 分)已知复数 z满足：| z|13i z.(1)求 z并求其在复平面上对应的点的坐标；(2)求 的共轭复数1 i23 4i22z解 (1)设 z x yi(x， yR)，由已知，得 13i( x yi)(1 x)(3 y)i.x2 y2由Error! 得Error!所以 z43i.其在复平面上对应的点的坐标为(4,3)(2)由(1)知 z43i，所以 34i，1 i23 4i22z 2i9 24i 162 4 3i 24 7i4 3i 24 7i4 3i4 3i4 3i 75 100i25
10、共轭复数为 34i.20(12 分)已知复数 z满足| z| ， z2的虚部是 2.2(1)求复数 z；(2)设 z， z2， z z2在复平面上的对应点分别为 A， B， C，求 ABC的面积解 (1)设 z a bi(a， bR)，则 z2 a2 b22 abi，由题意得 a2 b22 且 2ab2，解得 a b1 或 a b1，6所以 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时， z22i， z z21i，所以 A(1,1)， B(0,2)， C(1，1)，所以 S ABC1.当 z1i 时， z22i， z z213i，所以 A(1，1)， B(0,2)， C(1，3)，所以 S ABC
11、1.21(12 分)已知复数 z ， z ai(aR)，当 时，求 a 1 3i1 i 1 3ii |z| 2的取值范围解 因为 z 1i， 1 3i1 i 1 3ii 1 ii所以| z| .2又 ，所以 | |2.|z| 2而 z ai(1i) ai1( a1)i( aR)，则 2( a1) 23，12 a 12所以 a1 ，1 a1 .3 3 3 322(12 分)求同时满足下列条件的所有的复数 z.(1)z R，且 10时， x 2 6，故当 y0 时，无解10x 10x 10当 x2 y210 时，可化为 12x6，即 x3.12因为 x， yZ，故可得 z13i 或 z13i 或 z3i 或 z3i.
