1、1第一课时 函数奇偶性的定义与判定【选题明细表】知识点、方法 题号奇偶函数的图象特征 2,6,11,12奇偶性的概念与判定 1,3,5,8,10利用奇偶性求参数 4,7,91.函数 f(x)= 的奇偶性是( B )(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:函数 f(x)= 的定义域为 R,f(-x)= = =f(x),所以该函数是偶函数.故选 B.2.函数 f(x)=x3+ 的图象关于( A )(A)原点对称 (B)y 轴对称(C)y=x 对称 (D)y=-x 对称解析:函数的定义域为(-,0)(0,+),因为 f(-x)=(-x)3+ =-(x3+
2、 )=-f(x),所以函数为奇函数.所以函数 f(x)=x3+ 的图象关于原点对称,故选 A.3.(2017西城区高一期中)如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B )(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x).对于 A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以 y=x+f(x)是奇函数.对于 B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以 y=xf(x)是偶函数.对于 C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-
3、f(x),所以 y=x2+f(x)为非奇非偶函数,对于 D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以 y=x2f(x)是奇函数.故选 B.24.(2017河北省定州高一月考)已知函数 f(x)=ax2+bx 是定义在a-1, 2a上的偶函数,那么 a+b 等于( C )(A)0 (B) (C) (D)-1解析:依题意有 解得所以 a+b= .故选 C.5.已知 f(x)=ax3+bx+1(ab0),若 f(2 018)=k,则 f(-2 018)等于( D )(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k解析:设 g(x)=ax3+bx,易知 g(x)为奇函数,则
4、f(x)=g(x)+1.因为 f (2 018)=k,则 g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以 g(-2 018)=-g(2 018)= 1-k.所以 f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选 D.6.如图,给出奇函数 y=f(x)的局部图象,则 f(-2)+f(-1)的值为( A )(A)-2 (B)2(C)1 (D)0解析:由图知 f(1)= ,f(2)= ,又 f(x)为奇函数,所以 f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=- - =-2.故选 A.7.若函数 f(x)=kx2+(k-1)x+3 是偶函数,则 k 等于 . 解析:由于函数
5、 f(x)=kx2+(k-1)x+3 是偶函数,因此 k-1=0,k=1.答案:18.若 f(x)为偶函数,则 f( +1)-f( )= . 解析:因 f(x)为偶函数,所以 f( )=f(-(1+ )=f(1+ ),故 f( +1)-f( )=0.答案:09.已知函数 f(x)=1- .(1)若 g(x)=f(x)-a 为奇函数,求 a 的值;3(2)试判断 f(x)在(0,+)内的单调性,并用定义证明.解:(1)由已知 g(x)=f(x)-a 得,g(x)=1-a- ,因为 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),即 1-a- =-(1-a- ),解得 a=1.(2)函数 f(x)
6、在(0,+)内为增函数.证明:设 00,从而 0 时,y=x|x|=x 2,此时为增函数,当 x0 时,y=x|x|=-x 2,此时为增函数.综上在 R 上函数为增函数.故选 D.11.(2017揭西县河婆中学高一期中)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)=x2+2x.(1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象,并根据图象写出函数 f(x)的增区间;(2)写出函数 f(x)的值域.解:(1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如图:4所以 f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+).(2)由函数图象可知,f(x) min=f(-1)=-1,故 f(x)的值域为-1,+).12.(2017宾阳中学高一期中)若函数 y=f(x)为偶函数,且在(0,+)上是减函数,有 f(5)=0,则5 或-5x0,所以不等式的解集为(-5,0)(5,+).答案:(-5,0)(5,+)
