1、1第二课时 函数的最大(小)值【选题明细表】 知识点、方法 题号图象法求函数最值 1,12单调性法求函数最值 3,4,5,7,14二次函数的最值 2,10,13函数最值的应用 6,8,9,111.函数 f(x)的部分图象如图所示,则此函数在-2,2上的最小值、最大值分别是( C )(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2解析:当 x-2,2时,由题图可知,x=-2 时,f(x)的最小值为 f(-2)= -1;x=1 时,f(x)的最大值为 2.故选 C.2.若函数 y=x2-6x-7,则它在-2,4上的最大值、最小值分别是( C )(A)9,-15 (B)12,-15 (C)
2、9,-16 (D)9,-12解析:函数的对称轴为 x=3,所以当 x=3 时,函数取得最小值为-16,当 x=-2 时,函数取得最大值为 9,故选 C.3.函数 f(x)=-x+ 在-2,- 上的最大值是( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:因为 f(x)=-x+ 在-2,- 上为减函数,所以当 x=-2 时取得最大值,且为 2- = .故选 A.4.(2018于都县高一期中)函数 f(x)=2- 在区间1,3上的最大值是( D )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1解析:因为函数 f(x)=2- 在区间1,3上为增函数,所以 f(x)max=f(3)=2-1=1.故选 D
3、.5.已知函数 f(x)= ,x-8,-4),则下列说法正确的是( A )2(A)f(x)有最大值 ,无最小值(B)f(x)有最大值 ,最小值(C)f(x)有最大值 ,无最小值(D)f(x)有最大值 2,最小值解析:f(x)= =2+ ,它在-8,-4)上单调递减,因此有最大值 f(-8)= ,无最小值.故选 A.6.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-,1)上有最小值,则 a 的取值范围是( A )(A)(-,1) (B)(-,1(C)(1,+) (D)1,+)解析:由题意,f(x)=(x-a) 2-a2+a,所以函数的对称轴为 x=a.若 a1,则函数在区间(-,1)上是减函数,因
4、为是开区间,所以没有最小值所以 a1 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间0,1上是增函数,所以 f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,所以 a=2.综上可知,a=-1 或 a=2.答案:-1 或 212.(2018陕西师大附中高一上月考)已知函数 f(x)=(1)画出函数 f(x)的图象;(2)求函数 f(x)的单调区间,并指出在每个单调区间上,它是增函数还是减函数;(3)求函数 f(x)的最大值和最小值.解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.4(2)f(x)的单调区间有-3,-2),-2,0),0,1),1,3),3,6.其中 y=f(x)在区间-3,-2),0
5、,1),3,6上是减函数,在-2,0),1,3)上是增函数.(3)因为 f(x)图象的最高点为(3,4),最低点为(6,-5),所以 f(x)的最大值为 4,最小值为-5.13.已知函数 f(x)=x2+2mx+1.(1)若 m=1,求 f(x)在-1,3上的最大值和最小值;(2)若 f(x)在-2,2上为单调函数,求 m 的取值范围;(3)若 f(x)在区间-1,2上的最大值为 4,求实数 m 的值.解:(1)当 m=1 时,f(x)=x 2+2x+1=(x+1)2,所以 f(x)在-1,3上的最大值是 f(3)=16,最小值是 f(-1)=0.(2)因为 f(x)在-2,2上为单调函数,所
6、以区间-2,2在 f(x)对称轴 x=-m 的一边,即-m-2,或-m2,所以 m2,或 m-2.所以 m 的取值范围为(-,-22,+).(3)f(-1),f(2)中必有一个最大值,若 f(-1)=2-2m=4,则 m=-1,所以 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,符合 f(-1)最大.若 f(2)=5+4m=4,则 m=- ,所以 f(x)=x2- x+1=(x- )2+ ,符合 f(2)最大.所以 m=-1 或 m=- .14.已知函数 f(x)= ,x1,+).(1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值;(2)若对任意 x1,+),f(x)0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.解:(1)当 a= 时,f(x)=x+ +2.设 1x 10,2x1x22,所以 00,所以 f(x2)-f(x1)0,f(x1)0 恒成立x 2+2x+a0 恒成立.设 y=x2+2x+a,x1,+),则函数 y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在区间1,+)上是增函数.所以当 x=1 时,y 取最小值,即 ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a0 时,函数 f(x)0 恒成立,故 a-3,即 a 的取值范围为(-3,+).
