1、11.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【选题明细表】 知识点、方法 题号几何体的侧面积与表面积 3,4,5,10几何体的体积 1,2,7组合体的表面积与体积 6,9综合问题 8,111.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )(A) (B) (C)2 (D)4 解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为 ,高为 的圆锥的组合体,其体积为 2 ( )2 = .2.(2018河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2的半圆,则该圆锥的体积为( D )(A)2 (B) (C) (D)解析:由题圆锥的底面周
2、长为 2,底面半径为 1,圆锥的高为 ,圆锥的体积为1 2 = ,故选 D.3.(2018河北沧州高一检测)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84,则圆台较小底面的半径为( A )(A)7 (B)6 (C)5 (D)3解析:设上、下底面半径为 r,R.则 2R=32r,所以 R=3r.又 (r 1+r2)l=S 侧 ,所以 S 侧 =(3r+r)3=84,所以 r=7.4.(2018安徽马鞍山期中)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( C )(A)12 (B)1 (C)1 (D) 2解析:若圆锥的高等于底面直径,则 h=2r,则母线 l=
3、 = r,2而圆锥的底面面积为 r 2,圆锥的侧面积为 rl= r 2,故圆锥的底面积与侧面积之比为 1 ,故选 C.5.(2018桂林调研)正六棱柱的一条最长的对角线长是 13,侧面积为 180,棱柱的全面积为 .解析:如图,设正六棱柱的底面边长为 a,侧棱长为 h,易知 CF是正六棱柱的一条最长的对角线,即 CF=13.因为 CF=2a,FF=h,所以 CF= = =13. 因为正六棱柱的侧面积为 180,所以 S 侧 =6ah=180, 联立解得 或当 a=6,h=5时,S 底 =6 a22=108 .所以 S 全 =180+108 .当 a= ,h=12时,S 底 =6 a22= ,所
4、以 S 全 =180+ .答案:180+ 或 180+1086.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1的高为 6 cm,底面直角三角形的边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积为 .( 取 3.14) 解析:由题意知,RtABC 的内切圆 O的半径为 r=1(cm),所以所求几何体的体积为3V= 346-1 2617.16(cm 3).即剩余部分形成的几何体的体积为 17.16 cm3.答案:17.16 cm 37.若圆锥的侧面积为 2,底面面积为 ,则该圆锥的体积为 . 解析:由题底面半径是 1,圆锥的母线为 2,则圆锥的高
5、为 ,所以圆锥的体积为 =.答案:8.(2018湖南郴州二模)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( B )(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式 V=(S 上 + +S 下 )h)(A)2寸 (B)3寸 (C)4寸 (D)5寸解析:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14寸,下底面半径为 6寸,高为 18寸.因为积水深 9寸,所以水面半径为 (14+6)=10寸,则盆中水的体积为9(6 2+102+610)=588(
6、立方寸),所以平地降雨量等于 =3(寸).故选 B.9.(2018辽宁抚顺一中月考)如图,多面体 ABCDEF中,BA,BC,BE 两两垂直,且ABEF,CDBE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,则多面体 ABCDEF的体积为 . 解析:多面体 ABCDEF的体积等于四棱锥 D ABEF和三棱锥 A BCD的体积之和.4因为 = S 四边形 ABEFBC= (1+2)21=1,= SBCD AB= 112= .所以多面体 ABCDEF的体积 V 多面体 ABCDEF= +1= .答案:10.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 30,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:
7、如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE组成 RtPOE.因为 OE=2 cm,OPE=30,所以 PE=2OE=4 cm.因此 S 侧 =4 PEBC=4 44=32(cm2),S 表面积 =S 侧 +S 底 =32+16=48(cm2).11.(2018江苏省连云港市高一期末)如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,P是 BC的中点,点 Q是棱 CC1上的动点.(1)点 Q在何位置时,直线 D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥 B1-DBQ的体积;(3)若点 Q是棱 CC1的中点时,记过点 A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为 S,求 S.解:(1)当 Q是棱 CC1的中点时,直线 D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长 D1Q、DC 交于点 O,则 QC为DD 1O的中位线,所以 C为 DO的中点,延长 AP、DC 交于点 O,则 PC为ADO的中位线,所以 C为 DO的中点,所以点 O与点 O重合,所以直线 D1Q、DC、AP 交于一点.5(2) = = ( 22)2= .(3)连接 AD1、PQ,由(1)知,AD 1PQ,所以梯形 APQD1为所求截面,梯形 APQD1的高为 = ,S= ( +2 ) = .
