1、11.4 绝对值的三角不等式1.理解定理 1 及其几何说明，理解定理 2 及其 2 个推论.2.会用定理 1、定理 2 及其 2 个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a， bR，| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立. 2.|a b|表示 a b 与原点的距离，也表示 a 与 b 之间的距离.3.a， b， cR，| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0，即 b 落在 a， c 之间时等号成立.4.|a| b| a b|；| a| b| a b|.基础自测1.对任意 x， yR，| x1| x| y1| y1|的最小值为( )A.1 B.2C.3
2、D.4解析 利用三角不等式直接求解. x， yR，| x1| x|( x1) x|1，|y1| y1|( y1)( y1)|2，| x1| x| y1| y1|3.| x1| x| y1| y1|的最小值为 3.答案 C2.设 ab0，下面四个不等式| a b|a|；| a b|a| b|中，正确的是( )A.和 B.和C.和 D.和解析 ab0，| a b| a| b|a|，正确，| a b| a| b|b|，所以错，| a b| a| b|a b|错，| a b| a| b| a b| a| b|对，所以正确应选 C.答案 C3.若函数 f(x)| x1|2| x a|的最小值为 5，则实
3、数 a_.解析 根据去绝对值符号后函数的图象求解.2由于 f(x)| x1|2| x a|，当 a1 时，f(x) 3x 2a 1 （ xa） . )作出 f(x)的大致图象如图所示，由函数 f(x)的图象可知 f(a)5，即 a15， a4.同理，当 a1 时， a15， a6.答案 6 或 4知识点 1 利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例 1】 已知| x|0，|y|0， x2 y22 xy x2 y22 xy1 x2 y2 x2y212 xy x2y2(1 x2)(1 y2)(1 xy)2 |1 xy|（ 1 x2） （ 1 y2）所以 1.（ 1 x2） （ 1 y2）|1 xy
4、|由于| x|0)的解集为 M，不等式| f(x) g(x)|0)的解集是 N，则集合 M 与 N 的关系是( ) A.NM B.M NC.MN D.MN解析 | f(x) g(x)| f(x)| g(x)|，若 x0 M，|f(x0)| g(x0)|0， b a 恒成立，则 a 的取值范围是( )A.(，3) B.(，3C.(，3) D.(，3解析 | x1| x2| 3， x a 恒成立时， alogbaB.|logablog ba|2C.(logba)2|logablog ba|解析 11log aalog bblogba，A 正确；|logablog ba|log ab 2，B 正确；
5、1logab500，log ba0，|log ab|log ba|log ablog ba|故 D 错.答案 D4.x， yR，若| x| y| x1| y1|2，则 x y 的取值范围为_.解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x| x1|是数轴上的点 x 到原点和点 1 的距离之和，所以| x| x1|1，当且仅当x0，1时取“”.同理| y| y1|1，当且仅当 y0，1时取“”.| x| y| x1| y1|2.而| x| y| x1| y1|2，| x| y| x1| y1|2，此时 x0，1， y0，1，( x y)0，2.答案 0，2基础达标
6、1.若| a c|c| a| D.b|a c|a| c|，b|a c|c| a|，故 A、B 成立， b|a| c|，故 C 成立.应选 D(此题代入数字也可判出).答案 D2.若| x a|0 或 x1 D.x|x1 或 x1解析 由|cos |1，所以 1.|x2 12x|6又 1.|x2 12x| |x|2 12|x| 1，当且仅当| x|1 时成立，即 x1.|x|2 12|x|答案 A4.已知2 a3，3 a 对于 xR 均成立，则 a 的取值范围为_.解析 | x4| x5|4 x| x5|4 x x5|9.当 a ，即 a2 时，a2f(x) 3x a 1， x a2，x a 1
7、， a20，得| x1|10，| x1|1.若用| x2| x1| x1 x2|对式作放缩代换，有|x2| x1| x1|x2|1.同理，由(| x2|1)(| x1|1)0，得| x2|1.因此，方程 x2 ax b0 的两个根的绝对值均小于 1.方法二：假设方程 x2 ax b0 至少有一根的绝对值不小于 1.不失一般性，令| x1|1，则根据一元二次方程的韦达定理，有9|a|( x1 x2)| x1 x2| x1| x2|1| x2|，|b| x1x2| x1|x2| x2|.将以上两个不等式相加，得| a| b|1.这与已知| a| b|1 矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程 x2 ax b0 的两根的绝对值均小于
