1、11.3.2 杨辉三角课时目标 1.了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用二项式系数的性质：观察杨辉三角，可以看出二项式系数具有下列性质：(1)每一行的两端都是_，其余每个数都等于它“肩上”两个数的_，这实际上反映了组合数的下列性质：C 1，C 1，C C C .0n n mn 1 m 1n mn(2)对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等(3)最大二项式系数，当 n 是偶数时，_项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，_，_项的二项式系数相等且最大(4)二项式系数的和等于_，即 C C C C _.0n
2、1n 2n n一、选择题1在(1 x)2n(nN *)的展开式中，系数最大的项是( )A第 1 项 B第 n 项n2C第 n1 项 D第 n 项与第 n1 项2( x )10的展开式中，系数最大的项是( )1xA第 3 项 B第 6 项C第 3、6 项 D第 5、7 项3若(12 x)2 009 a0 a1x a2 009x2 009(xR)，则 的值为( )a12 a222 a2 00922 009A2 B0 C1 D2453 10被 8 除的余数是( )A1 B2 C3 D75已知 nN *，则 13C 3 2C 3 nC 等于( )1n 2n nA3 n B2 n C4 n D5 n6满
3、足 C C C C C 1 000 的最小偶数 n 为( )0n 2n 4n n 2n nA8 B10 C12 D142二、填空题7在( x y)n的展开式中，第 4 项与第 8 项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第_项8如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第_行中从左到右第 14 个数与第 15 个数的比为 23.9已知(1 x)(1 x)2(1 x)3(1 x)n a0 a1x a2x2 anxn，若a1 a2 a3 an1 29 n，则 n_.三、解答题10在( x y)11的展开式中，求(1)通项 Tr1 ；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的
4、系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和311求 0.9986的近似值，使误差小于 0.001.能力提升12(2 )8展开式中不含 x4项的系数的和为( )xA1 B0 C1 D213已知(12 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7.求：(1) a1 a3 a5 a7；(2)a0 a2 a4 a6；(3)|a0| a1| a2| a7|.41求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，
5、一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得3求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握4一些整除和近似计算问题可以利用二项展开式解决13.2 杨辉三角答案知识梳理(1)1 和 (3) T 1 T T 1 (4)2 n 2 nn2 n 12 n 12作业设计1C 因为 2n 为偶数，且 x 的系数为 1，系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第( n1)项2D 根据二项展开式中系数的关系，注意到第 6 项的系数为C ，实际上最小，510所以系数最大的项为第 5、
6、7 项3C 本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令 x0，得 a01.令 x ，125得 a0 0，所以 1.a12 a222 a2 00922 009 a12 a222 a2 00922 0094A 53 10(563) 1056 10C 569(3)C 568(3) 2C 56(3)10 210 9109(3) 10.53 10被 8 除的余数等于 310被 8 除的余数又 3109 5(81) 58 5C 84C 81.15 45所求余数为 1.5C 13C 3 2C 3 nC C C 31C 32C 3n(13) n4 n.1n 2n n 0n 1n 2n n6C 2 n1 1 0
7、00， n11( nN *)76解析 由题意，第 4 项与第 8 项的系数相等，则其二项式系数也相等，C C ，由组合数的性质，得 n10.3n 7n展开式中二项式系数最大的项为第 6 项，它也是系数最大的项834解析 假设满足条件的是第 n 行，则从左至右第 14 个数和第 15 个数分别是C ，C ，由题意可知 ，解之得 n34.13n 14nC13nC14n 2394解析 令 x1，解 a0 a1 a2 an22 22 32 n2 n1 2；令 x0，得 a0 n，又 an1，所以 a1 a2 an1 2 n1 2 n129 n，所以 2n1 32，所以 n4.10解 (1) Tr1 (
8、1) rC x11 ryr.r11(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6C x6y5， T7C x5y6.511 611(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6C x6y5， T7C x5y6.511 611(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第 7 项为正，故 T7C x5y6.611(5)项的系数最小的项为 T6C x6y5.511(6)二项式系数的和为 C C C C 2 11.011 1 211 11(7)各项系数的和为(11) 110.11解 0.998 6(10.002) 616(0.002)15(0.002) 2(0.002)6， T315(0.002) 20.
9、00 0060.001.即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001，从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，6即 0.9986(10.002) 616(0.002)0.988.12B 展开式的通项公式 Tr1 C 28 r( )r，则含 x4的项的系数为 1，令r8 xx1，得展开式所有项系数和为(2 )81，因此展开式中不含 x4项的系数的和为1110，故选 B.13解 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a71. 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a73 7. (1)()2，得 a1 a3 a5 a7 1 094. 1 372(2)()2，得 a0 a2 a4 a6 1 093. 1 372(3)(12 x)7展开式中， a0、 a2、 a4、 a6都大于零，而 a1、 a3、 a5、 a7都小于零，| a0| a1| a2| a7|( a0 a2 a4 a6)( a1 a3 a5 a7)，由(1)、(2)即可得其值为 2 187.
