1、1投影与视图本章总结提升问题 1 投影的应用什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么性质？例 1 图 3T1 是住宅区内的两幢楼的示意图，它们的高 AB CD30 m，两楼间的距离AC30 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况(1)当太阳光与水平面的夹角为 30时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到 0.1 m， 1.73)；3(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳光与水平面的夹角为多少度？图 3T1【归纳总结】投影的应用：投影有平行投影与中心投影，由于平行投影的光线是平行的，因此它常与平行、相似等知识综合考查中心投影是从
2、一点发出的光线所形成的投影，可以构成位似图形2问题 2 简单物体的三视图什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？例 2 画出如图 3T2 所示的立体图形的三视图图 3T2【归纳总结】简单物体的三视图：画一个几何体的三视图时，要从三个方向观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正” ；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐” ，与俯视图“宽相等”几何体因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线问题 3 由三视图描述几何体立 体 图 形 与 三 视 图 、 展 开 图 之 间 有 何 关 系
3、？例 3 在平整的地面上有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图 3T3 所示(1)请画出这个几何体的三视图；(2)如果此时在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有_个正方体只有一个面是黄色，有_个正方体只有两个面是黄色，有_个正方体只有三个面是黄色；(3)若现在还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？图 3T33【归纳总结】由三视图描述几何体：由三视图想象几何体的形状可从如下途径分析：(1)根据主、俯、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高(2)由实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线问题 4 直棱
4、柱、圆锥的侧面展开图常 见 的 直 棱 柱 、 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 分 别 是 怎 样 的 ？例 4 阅读材料：图 3T4如图 3T4，将一个直角三角形 AOB 绕其一条直角边 AO 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥圆锥的底面是以 OB 为半径的一个圆形圆锥的侧面展开图是一个以点 A 为圆心，斜边 AB 的长为半径的扇形，Rt AOB 的斜边 AB 称为圆锥的一条母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长S 圆锥表面 S 圆锥的侧面 S 圆锥的底面阅读后，请解答下面的问题：从卡纸上剪下半径是 30 cm(母线长 l30 cm)的扇形，做一个圆锥形纸盒，圆锥的底面 O的直径是 20
5、 cm(如图 3T5 所示)(1)求圆锥的底面 O 的周长；(2)求剪下的扇形的圆心角的度数；(3)求圆锥的表面积图 3T5【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”：(1)分析清楚几何体表面的构成；4(2)弄清圆锥与其侧面展开图(扇形)各元素之间的对应关系；(3)圆锥的母线长 l，底面圆的半径 r 和圆锥的高 h 的关系为 l2r 2h 2；(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和问题 5 三视图在实际生活中的应用根据三视图求物体的表面积和体积的关键是什么？如何根据三视图描述几何体？例 5 图 3T6 是一个物体的三视图，根据设计图纸上标明的尺寸(单位：mm)计算物体的表面积和体积图 3T
6、6【归纳总结】三视图在实际生活中的应用：根据设计图纸中三视图及尺寸求零件的表面积和体积，这是三视图在实际生活中的主要应用，也是日常生产中经常遇到的问题解决这类问题的方法是首先由三视图想象出几何体的形状，再画出其表面展开图，然后根据图中尺寸利用相应公式进行计算5教师详解详析【整合提升】例 1 解析 (1)如图，通过投影的知识，结合题意构造 RtBEF，设 BFx m，解此直角三角形可得 x 的值；由此可得 EC 的长，即甲楼的影子在乙楼上的高度(2)要使甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，易得ABC 为等腰三角形，且 AC30 m，容易求得当太阳光与水平面夹角为 45时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙
7、上解：(1)如图所示，延长 QB 交 DC 于点 E，过点 E 作 EFAB，交 AB 于点 F，则 EFAC30 m.在 RtBEF 中，FEB30，BE2BF.设 BFx m，则 BE2x m.根据勾股定理，得 BE2BF 2EF 2，(2x) 2x 230 2，x 110 ，x 210 (舍去)，3 3x17.3.因此，EC3017.312.7( m)即甲楼的影子在乙楼上的高度约为 12.7 m.(2)如图，当甲楼楼顶的影子刚好落在点 C 处时，ABC 为等腰三角形，因此，当太阳光与水平面的夹角为 45时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上例 2 解析 该几何体的主视图是长方形中间挖去一个小
8、长方形，左视图是长方形(中间带一条虚线)，俯视图是圆(中间有两条实线)解：如图所示点评 画一个物体的三视图，其位置规定：主视图在左上方，它正下方是俯视图，左视图放在主视图的右边例 3 解析 (2)只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共 1 个；有2 个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共 2 个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共 3 个解：(1)如图所示：6(2)1 2 3(3)最多可以再添加 4 个小正方体例 4 解：(1)由题意可得，圆锥的底面O 的周长是 20 cm.(2)设剪下的扇形的圆心角是
9、 n，由题意，得 20 ，解得 n120，即剪下的扇n 30180形的圆心角的度数是 120.(3)由题意可得，圆锥的表面积是 400 (cm2)，即圆锥的表面积(202)2 120 302360是 400 cm2.例 5 解析 由三视图可看出：物体是由上、下两个半径不同的圆柱组成的，其立体图形如图所示解：物体形状如图所示上面小圆柱的底面直径为 4 mm，高为 2 mm，下面大圆柱的底面直径为 8 mm，高为 8 mm.物体体积 V 8 2136 (mm3)，(82)2 (42)2 物体表面积 S 表 8 84 22 104 (mm2)(82)2 即物体的表面积为 104 mm2，体积为 136 mm3.
