1、124.1.2 垂直于弦的直径教学目标【知识与技能】1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生感受圆的对称性,体会圆的一些性质,经历探索圆的对称性及相关性质的过程2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法;培养学生独立探索,相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题教学过程一、情境导入(课件出示图片)你知
2、道赵州桥吗?它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗? 2、探索新知1.圆的轴对称性问题 1 将一个圆沿着任一条直径对折,两侧半圆会有什么关系?(圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,所以两侧半圆折叠后重叠.)2.垂径定理及其推论如图, AB 是 O 的一条弦,作直径 CD,使 CD AB,垂足为 M(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由(老师点评)(1)是轴
3、对称图形,其对称轴是 CD(2) AM=BM, ACB, AD,即直径 CD 平分弦 AB,并且平分 AB及 D归纳总结垂径定理*:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.想一想 (出示课件)判断下列图形,能否使用垂径定理?BA CDOMOC DBA OC DBAOC DBA OC DE2提问(1) 一条直线满足过圆心和垂直于弦,则可得到什么结论?提问(2) 已知直径 AB,弦 CD 且 CE=DE,那么可得到的结论有哪些?结论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧提问(3) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,为什么不是直径?3.利用垂径定理及推
4、论解决实际问题问题 3 如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的 圆心为 O,半径为 R.经过圆心 O 作ABAB弦 AB 的垂线 OC, D 为垂足, OC 与 相交与点 C,连接 OA.根据垂径定理, D 是 AB 的中点,C 是 的中点, CD 就是拱高.AB由题设可知 AB=37cm, CD=7.23cm,所以 (cm),13718.52D.在 Rt OAD 中,由勾股定理,得 ,解得O723R 22OA(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为 27.3m.27.3R3、巩固练习1.如图, AB 是圆 O 的直径, CD 是弦,且 CD AB,根据圆的轴对称性可得:CE=_, BC=_; AC=
5、_2.如图,在圆 O 中, MN 为直径,若 MN AB,则_,_,_,若AC=BC,AB 不是直径,则_,_,_3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中 AB),点 O 是这段弧的圆心, C 是 AB 上的一点, OC AB,垂足为 D。 AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是_m第 1 题图 第 2 题 图 第 3 题图答案:1. DE, , 2.AC=BC, , , MN AB,ABDAMBAN, 3.250AMBN五、归纳小结通过这节课的学习,你还有那些收获?布置作业从教材习题 24.1 中选取教学反思本节课从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般,层层递进,以利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启发和引导,培养学生大胆猜想,小心求证的科学素养.本节课将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.