1、1小专题 7 二次函数与几何图形综合类型 1 线段相关问题1(山西农业大学附中月考)如图，抛物线经过 A(1，0)，B(5，0)，C(0， )三点52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PAPC 的值最小，求点 P 的坐标解：(1)设抛物线的解析式为 yax 2bxc(a0)，A(1，0)，B(5，0)，C(0， )52三点在抛物线上， 解得a b c 0，25a 5b c 0，c 52， ) a 12，b 2，c 52.)抛物线的解析式为 y x22x .12 52(2)抛物线的解析式为 y x22x ，12 52其对称轴为直线 x 2，b2a 22122连接 B
2、C，交抛物线对称轴于点 P，P 点即为所求点B(5，0)，C(0， )，52设直线 BC 的解析式为 ykxb(k0)， 解得5k b 0，b 52， ) k 12，b 52.)直线 BC 的解析式为 y x ，12 52当 x2 时，y1 .52 32P(2， )32类型 2 图形面积问题2(阳泉市平定县月考)如图所示，二次函数 yax 24xc 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A(4，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点 P，满足 SAOP 8，请求出点 P 的坐标解：(1)由已知条件，得 c 0，a（ 4） 2 4（ 4） c 0.)解得 a 1，c 0. )此二次
3、函数的解析式为 yx 24x.(2)点 A 的坐标为(4，0)，AO4.设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 SAOP 4h8.12解得 h4.当点 P 在 x 轴上方时，x 24x4.解得 x2.3点 P 的坐标为(2，4)当点 P 在 x 轴下方时，x 24x4.解得 x122 ，x 222 .2 2点 P 的坐标为(22 ，4)或(22 ，4)2 2综上所述，点 P 的坐标是(2，4)，(22 ，4)，(22 ，4)2 23(吕梁孝义市期末)综合与探究：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 W 的函数解析式为 yx 22x3.抛物线 W 与x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B
4、 的右侧)，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 D，直线 l 经过A，C 两点(1)求点 A，B，C，D 的坐标；(2)将直线 l 向下平移 m 个单位，对应的直线为 l.若直线 l与 x 轴的正半轴交于点 E，与 y 轴的正半轴交于点 F，AEF 的面积为 S，求S 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围；求 m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？(3)若将抛物线 W 也向下平移 m 个单位，再向右平移 1 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点 P 落在AOC 的内部(不包括AOC 的边界)请直接写出 m 的取值范围解：(1)当 y0 时，得x 22x30，解得 x1
5、3，x 21.A，B 两点坐标分别为(3，0)，(1，0)当 x0 时，得 y3，点 C 坐标为(0，3)yx 22x3(x1) 24，点 D 坐标为(1，4)(2)设直线 l 的解析式为 ykxb，则有4解得b 3，3k b 0， ) k 1，b 3. )直线 l 的解析式为 yx3.直线 l的解析式为 yx3m.当 y0 时，解得 x3m，E 点坐标为(3m，0)当 x0 时，解得 y3m，F 点坐标为(0，3m)AE3(3m)m，OF3m.S AEOF m(3m) m2 m(0m3)12 12 12 32S m2 m (m )2 ， 0，12 32 12 32 98 12当 m 时，S
6、的值最大，最大值为 .32 98(3)3m4.类型 3 特殊图形相关问题4(阳泉市平定县月考)综合与探究：如图，抛物线 yax 2bx3 经过点 A(2，3)，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点C，且 OC3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 D 在 y 轴上，且BDOBAC，求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由 yax 2bx3 得 C(0，3)，OC3，OC3OB，OB1.B(1，0)把 A(2，3)，B(
7、1，0)代入 yax 2bx3 得 解得4a 2b 3 3，a b 3 0. ) a 1，b 2.)抛物线的解析式为 yx 22x3.(2)连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，如图 1，5A(2，3)，C(0，3)，AFx 轴，F(1，3)BF3，AF3，BAC45.设 D(0，m)，则 OD|m|，BDOBAC，BDO45，ODOB1，|m|1，m1，D 1(0，1)，D 2(0，1)(3)设 M(a，a 22a3)，N(1，n)，以 AB 为边，则 ABMN，ABMN，如图 2，过 M 作 ME对称轴于 E，AFx 轴于 F，则ABFNME(AAS)，NEAF3，MEBF3，|a1|3，a4 或 a2，M(4，5)或(2，5)以 AB 为对角线，BNAM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，M(0，3)综合上述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(2，5)或(0，3)
