1、122.2 二次函数与一元二次方程知能演练提升能力提升1.(2017江苏徐州中考)若函数 y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则 b的取值范围是( )A.b1C.00;当 x 时, y0,b 0, 解得 b0,即 4ac-b20, 4a-2b+c0, 4a+c2b, 错误;由题目中图象可知 x=-1时该二次函数取得最大值,故 a-b+cam2+bm+c(m -1),得 m(am+b)0, =-3,-b24a即 a0,b2=12a.因为一元二次方程 ax2+bx+m=0有实数根,所以 =b 2-4am0,即 12a-4am0,即 12-4m0,解得 m3 .所以 m的最大值为 3.5.答
2、案不唯一,只要满足 c4即可,如 5等 二次函数 y=x2-4x+c的图象与 x轴没有交点,则一元二次方程 x2-4x+c=0的判别式 = 16-4c4,因此,只要满足 c4的任何一个整数值均可 .6.(1)y=(x-1)2-1 (2)-1或 3 (3)小于 0或大于 2 大于 0且小于 27. 因为( -2m)2-41(-3)=4m2+120,所以二次函数 y=x2-2mx-3的图象与 x轴有两个公共点,说法 正确;显然,说法 是错误的;因为 y=x2-2mx-3=(x-m)2-m2-3,所以将其图象向左平移 3个单位长度后的函数解析式为 y=(x-m+3)2-m2-3,若平移后的图象过原点
3、,则( -m+3)2-m2-3=0,解得 m=1,说法 错误;由“当 x=4时的函数值与当 x=2 012时的函数值相等”可得,4 2-2m4-3=2 0122-2m2 012-3,解得 m=1 008,所以当 x=2 016时, y=2 0162-21 0082 016-3=-3,说法 正确 .8.解 (1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别式 0,且 m0,即 b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)0,且 m0,解得 m ,且 m0 .94(2)当 x=1时,由题意得 m+(3-2m)+m-2=1,符合函数解析式,所以点 P(1,1)在抛物线上 .(3)因为 m=1,所以 y=
4、x2+x-1= .(x+12)2-54所以 Q .根据对称性可得 P(-2,1).(-12,-54)9.分析 (1)由于函数的常数项为 1,故 x=0时, y=1,得证 .(2)考虑一次函数和二次函数两种情况 .当 m=0时函数为一次函数,与 x轴有一个交点 .当 m0 时函数为二次函数,与 x轴有一个交点要求对应的一元二次方程有两个相等的实数根,即根的判别式等于 0,也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为 0来求解 .(1)证明 因为当 x=0时, y=1,所以不论 m为何值,函数 y=mx2-6x+1的图象经过 y轴上的一个定点(0,1) .(2)解 当 m=0时,函数 y=-6x+1的图象与
5、x轴只有一个交点;6 当 m0 时,若函数 y=mx2-6x+1的图象与 x轴只有一个交点,则方程 mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以( -6)2-4m=0,m=9.综上所述,若函数 y=mx2-6x+1的图象与 x轴只有一个交点,则 m的值为 0或 9.10.解 (1)把 B(-2,6),C(2,2)代入 y=ax2+bx+2,得 解得 故 y= x2-x+2.4a-2b+2=6,4a+2b+2=2, a=12,b= -1. 12(2)如图所示,抛物线 y= x2-x+2的对称轴为 x=- =- =1,顶点 D .12 b2a -11 (1,32)设 BC交对称轴于点 E,直线 B
6、C的解析式为 y=kx+m,把 B(-2,6),C(2,2)代入,得解得-2k+m=6,2k+m=2, k= -1,m=4. 故 y=-x+4.当 x=1时, y=-1+4=3,E (1,3).DE= 3- .32=32S BCD=S BED+S CED= DE3+ DE112 12= DE4= 4=3.12 1232(3)直线 y=- x向上平移 b个单位所得的直线为 y=- x+b,当它与抛物线 y= x2-x+2只有一个交点时,12 12 12方程 - x+b= x2-x+2有两个相等的实数根,整理,得 x2-x+4-2b=0,此时 = 1-4(4-2b)=0,解得 b= .12 12
7、158把 B(-2,6)代入 y=- x+b,得 6=- (-2)+b,b=5.12 127把 C(2,2)代入 y=- x+b,得 2=-1+b,b=3.12故当直线 y=- x向上平移 b个单位所得的直线与抛物线段 BDC(包括端点 B,C)部分有两个交点时, b12的取值范围为 b3 .158创新应用11.解 (1)由题意可知,函数 y=- x+3的图象与 x轴交于点 B(4,0),与 y轴交于点 C(0,3).所以 c=3.34把 A(2,0),B(4,0)代入 y=ax2+bx+3,得 4a+2b+3=0,16a+4b+3=0,解得 a=38,b= -94.所以所求函数的解析式为 y= x2- x+3.38 94(2)如图所示, S AOP= OAy= 2y=y=- x+3(0 x4).12 12 34(3)不存在这样的点 P,使 PO=AO.理由:设存在这样的点 P(x0,y0),满足 PO=AO,则 PO=2.如图, PO=,x20+y20所以 =4.x20+y20又因为 y0=- x0+3,34所以 25 -72x0+80=0.x20因为 b2-4ac=(-72)2-42580=-2 8160,所以此一元二次方程无解 .故不存在这样的点 P,使 PO=AO.
