1、121.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点 1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1(钦州中考)若 x1，x 2是一元二次方程 x210x160 的两个根，则 x1x 2的值是(A)A10 B10 C16 D162(怀化中考)若 x1，x 2是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 x1x2的值是(D)A2 B2 C4 D33(凉山中考)已知 x1，x 2是一元二次方程 3x262x 的两根，则 x1x 1x2x 2的值是(D)A B. C D.43 83 83 434(眉山中考)已知一元二次方程 x23x20 的两个实数根为 x1，x 2，则(x 11)(x
2、21)的值是45已知 x1，x 2是一元二次方程 x23x10 的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x1x 2；解：x 1x 23.(2)x1x2；解：x 1x21.(3)x x ；21 2解：x x (x 1x 2)22x 1x221 223 22(1)11.(4) ；1x1 1x2解： 3.1x1 1x2 x1 x2x1x2 3 1(5)(x11)(x 21)；解：(x 11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)11313.(6) .x2x1 x1x2解： x2x1 x1x211 111.知识点 2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6(雅安中考)已知 x1，x 2是一元二次方程
3、x22xk10 的两根，且 x1x23，则 k的值为(B)A1 B2C3 D47(新疆中考)已知关于 x 的方程 x2xa0 的一个根为 2，则另一个根是(A)A3 B2 C3 D68已知关于 x 的方程 x2pxq0 的两根为3 和1，则 p，q 的值分别为 4，39已知关于 x 的一元二次方程 x2(4m1)x2m10.(1)求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为 x1，x 2，且满足 ，求 m 的值1x1 1x2 12解：(1)证明：a1，b4m1，c2m1，3(4m1) 24(2m1)16m 28m18m416m 25.16m 20，0.不论
4、m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根(2)根据题意，得 x1x 2(4m1)，x 1x22m1， ，1x1 1x2 12 .x1 x2x1x2 12 ， （ 4m 1）2m 1 12m .12易错点 忽视隐含条件10若关于 x 的方程 x2(a1)xa 20 的两个根互为倒数，求 a 的值解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为 1由根与系数的关系，得 a21解得 a1当 a1 时，原方程化为 x210，根的判别式 0，此方程没有实数根，所以舍去a1所以 a102 中档题11(易错题)下列一元二次方程两实数根和为4 的是(D)Ax 22x40 Bx 24x40Cx 24x100 Dx
5、24x5012(烟台中考)若 x1，x 2是方程 x22mxm 2m10 的两个根，且 x1x 21x 1x2，则m 的值为(D)A1 或 2 B1 或2C2 D113(达州中考)设 m，n 分别为一元二次方程 x22x2 0180 的两个实数根，则4m23mn2_01614在解某个关于 x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为9，1；乙看错了常数项，得出的两个根为 8，2，则这个方程为 x210x9015已知实数 m，n 满足 3m26m50，3n 26n50，且 mn，则 nm mn 22516(十堰中考)已知关于 x 的方程 x2(2k1)xk 210 有两个实数根 x
6、1，x 2.(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 x1，x 2满足 x x 16x 1x2，求实数 k 的值21 2解：(1)关于 x 的方程 x2(2k1)xk 210 有两个实数根 x1，x 2，(2k1) 24(k 21)4k50，解得 k .54实数 k 的取值范围为 k .54(2)关于 x 的方程 x2(2k1)xk 210 有两个实数根 x1，x 2，x 1x 212k，x 1x2k 21.x x (x 1x 2)22x 1x216x 1x2，21 2(12k) 22(k 21)16(k 21)，即 k24k120，解得 k2 或 k6(不符合题意，舍去)实数 k 的值为2.1
7、7已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x4k30.(1)求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当 RtABC 的斜边长 a 为 ，且两条直角边的长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，31求ABC 的周长解：(1)证明：(2k1) 24(4k3)4k 212k13(2k3) 24.(2k3) 20，(2k3) 240，即 0，无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根(2)b，c 是方程 x2(2k1)x4k30 的两个根，bc2k1，bc4k3.a 2b 2c 2，a ，315k 2k60.k 13，k 22.b，c 均为正数，4k30.k3.
8、此时原方程为 x27x90，bc7.ABC 的周长为 7 .3103 综合题18(换元思想)阅读材料：材料 1 若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根为 x1、x 2，则 x1x 2 ，x 1x2 .ba ca材料 2 已知实数 m、n 满足 m2m10，n 2n10，且 mn，求 的值nm mn解：由题知 m，n 是方程 x2x10 的两个不相等的实数根，根据材料 1，得mn1，mn1. 3.nm mn m2 n2mn （ m n） 2 2mnmn 1 2 1根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程 x24x30 的两根为 x1，x 2，则 x1x 24，x 1x23；(2)已知实数 m，n 满足 2m22m10，2n 22n10，且 mn，求 m2nmn 2的值；(3)已知实数 p，q 满足 p23p2，2q 23q1，且 p2q，求 p24q 2的值解：(2)m，n 满足 2m22m10，2n 22n10，m，n 可看作方程 2x22x10 的两实数根mn1，mn .12m 2nmn 2mn(mn) 1 .12 12(3)设 t2q，代入 2q23q1 化简为 t23t2，则 p 与 t(即 2q)为方程 x23x20 的两实数根，p2q3，p2q2，p 24q 2(p2q) 22p2q3 22(2)13.
