1、- 1 -黑龙江省大庆中学 2019 届高三数学上学期期中试题 理（扫描版）- 2 - 3 - 4 - 5 -大庆中学 2018-2019 学年高三年级上学期期中考试数学（理科）答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 M=x|x-1，N=x|-2x2， MN=x|-1x2=-1，2） 故选：B 先分别求出集合 M，N，由此利用交集定义能求出 MN 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2.【答案】 A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标得答案【解答】解
2、： = ，复数 对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限故选 A3.【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件求出 m 的值是解决本题的关键根据直线垂直的等价条件求出 m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可- 6 -【解答】解：若直线 l1：mx+（2m-1）y+1=0 与直线 l2：3x+my+3=0 垂直，则满足 3m+m（2m-1）=0，即 m（2m+2）=0，得 m=0 或 m=-1，则“m=-1”是“直线 l1：mx+（2m-1）y+1=0 与直线 l2：3x+my+3=0 垂直”的充分不必要条件，故选 A4.【答案】 B【解
3、析】解：当 x0 时，函数 f（x）= ，由函数 y= 、y=ln（-x）递减知函数 f（x）=递减，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，f（1）= =1，而选项 A 的最小值为 2，故可排除 A，只有 B 正确，故选：B当 x0 时，函数 f（x）= ，由函数的单调性，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，代入特殊值验证，排除 A，只有 B 正确，题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力5.【答案】 C【解析】【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于
4、中档题【解答】解： = ， = ， = =（ + ）=（ + ）= + ，三点 M，N，P 共线- 7 - + =1，= ，故选 C.6.【答案】 D【解析】【分析】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示：该三棱锥的体积= =10故选 D7.【答案】 A【解析】解：把已知条件列表如下：查资料 写教案 改作业 打印材料甲 乙 丙 丁 若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾查资料 写教案 改作业 打印材料- 8 -甲 乙 丙 丁
5、 所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料故选：A若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解这是一个典型的逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题8.【答案】 B【解析】【分析】本题考查等差数列的和与通项,研究等差数列的前 n 项和的最小值,常用的方法是找出所有的负项,即可得到和的最小值,本题属于基础题,难度较低.由题意,可根据 a1+a5=-14,S9=-27 解出数列的公差,从而求得数列的通项公式,求出所有负项的个数,即可得出 Sn取最
6、小值时,n 所取的值.【解答】解:设等差数列a n的公差是 d,a 1+a5=-14,S9=-27,2a 1+4d=-14,即 a1+2d=-7,S9= =9(a1+4d)=-27,即 a1+4d=-3,联立得到:a 1=-11,d=2.故有 an=a1+(n-1)d=2n-13.令 an0,可解得 n ,由此知,数列的前 6 项为负项故 Sn取最小值时,n 等于 6.故选 B.- 9 -9.【答案】 A【解析】【分析】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题.利用二倍角公式求出 的值，再利用诱导公式求出 的值.【解答】解：因为 ，所以 ，则 .故选 A.10.【答案】 D【解析
7、】【分析】本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，比较基础由题意，m0，n0，由基本不等式可得结论【解答】解：由题意， ，m0，n0，由基本不等式可得 1 ，mn8，直线 l 与 x、y 正半轴围成的三角形的面积的最小值为 4，故选 D11.【答案】 D【解析】解：根据题意，设|PF 1|=y，|PF 2|=x，设PF 1F2=，则有 y-x=2a，tan= ，- 10 -又由 ，则有 x2+y2=|F1F2|=4c2，e2= = = = =1+=1+ =1+ ，令 t=tan+ ，由于 = ，则 tan（2- ， ），则 t（ ，4），则有 2e 22 +4，则有 e +1，即双曲线离心率
8、e 的取值范围是 ， +1；故选：D设|PF 1|=y，|PF 2|=x，设PF 1F2=，分析可得 y-x=2a，tan= ，根据条件判断PF1PF 2，由双曲线的离心率公式可得e2= = = = =1+ =1+ =1+ ，令t=tan+ ，分析 tan 的范围，由对号函数的性质分析可得 t 的范围，将 t 的范围代入其中，计算可得 e2的范围，化简即可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是根据条件判断 PF1PF 2，结合正弦定理以及转化为函数最值问题12.【答案】 D【解析】解：f（x）=a（x-2）e x+lnx-x，x0， f（x）=a（x-1）e x+ -1=（x-1）（ae x-
9、 ）， 由 f（x）=0 得到 x=1 或 aex- =0（*） 由于 f（x）仅有一个极值点， 关于 x 的方程（*）必无解， 当 a=0 时，（*）无解，符合题意， - 11 -当 a0 时，由（*）得，a= ， 设 g（x）=xe x， g（x）=e x（x+1）0 恒成立， g（x）为增函数， 函数 y= 为减函数 当 x+时，y0 a0 x=1 为 f（x）的极值点， f（1）=-ae-10， a- 综上可得 a 的取值范围是（- ，0 故选：D先求导，再由 f（x）=0 得到 x=1 或 aex- =0（*），根据（*）无解和函数的极值大于 0 即可求出 a 的范围，本题考查了利用
10、导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题13.【答案】2 e【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确求导是解题的关键求出函数的导数，由导数的几何意义，将 x=1 代入即可得到所求斜率【解答】解：y=xe x的导数为 y=ex+xex，k=y| x=1=2e，- 12 -故答案为 2e.14.【答案】【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题画出满足约束条件的平面区域，求出 A，B 的坐标，由 z=ax+y 得：y=
11、-ax+z，结合函数的图象显然直线 y=-ax+z过 A，或 B 时，z 最大，求出 a 的值即可【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由 ，解得：A（1，4），由 z=ax+y 得：y=-ax+z，当直线 y=-ax+z 过 A（1，4）或 B（4，1）时，z 最大，此时，6=a+4 或 6=4a+1，解得：a=2 或 a= ，- 13 -当 a=2 时，z 可在（4，1）取到最大值 9，不符合题意，所以 a= ，故答案为 .15.【答案】【解析】解：分别过 A，F，B 作准线的垂线，垂足分别为 A1，D，B 1， 则 DF=p=2，由抛物线的定义可知 BF=BB1，AF=AA 1
12、， =4 ， ，BF=BB 1= CF=4FB=6， cosDFC= ， cosA 1AC= = = ，解得 AF=3， AB=AF+BF=3+ = 故答案为： 分别过 A，F，B 作准线的垂线，垂足分别为 A1，D，B 1，利用相似三角形计算 BB1，AA 1即可得出 AB=AA1+BB1 本题考查了抛物线的性质，属于中档题16.【答案】【解析】【分析】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键是利用三棱锥、球的几何特征及已知求出球的半径.【解答】- 14 -解：设 BD 的中点为 E，外接球的球心为 O，半径为 R，因为 ，则 ，又因为平面 平面 ，则 平面 ，因为 BD=2，BC=1， ，所以
13、，则 ，又因为 EB=ED=EC=1，由 平面 ，AE= ，则圆心 O 在直线 AE 上，且 ，所以 ，则 ，解得，R= ，所以三棱锥的外接球表面积为 .故答案为 .17.【答案】解：（1）当 时， ，所以 ；当 时， ，则，即 .又因为 ，所以数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，- 15 -所以 .（2）由（1）得，所以 ， 得 所以 .【解析】本题考查数列的通项公式，数列求和.考查错位相减法求和，属中档题.（1）由 a1=S1,当 n1 时，a n=Sn-Sn-1即可求出求数列 的通项公式；（2）由（1）得 ，所以 ，用错位相减法求和即可求得结论.18.【答案】解：(1)因为-
14、16 -当且仅当 时，最小正周期为 ,（2）因为 ，即 ，因为 ，所以 ，于是 ，即 .因为 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得，即，联立，解得 .【解析】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题(1)先化简函数 f（x），再求函数的最小值和最小正周期； (2)先求 C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求 a、b 的值19.【答案】（1）证明：因为 BC BD， E 是棱 CD 的中点，所以 BE CD又三棱锥 B ACD 的三条侧棱两两垂直，且 BC BD B，- 17 -所以 AB平面 BCD，则 AB CD因为 AB BE B，所以 CD平面
15、ABE，又平面 ACD，所以平面 ABE平面 ACD（2）解：以 B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz，则 , ,E（1,1,0）, ，则 ， .设平面 EFG 的法向量为，则 ，即 ，令 ，则 由（1）知，平面 AEG 的一个法向量为 ，所以.- 18 -由图可知，二面角 A EG F 为锐角，故二面角 A EG F 的余弦值为 .【解析】本题考查了线面垂直的判定,线面垂直的性质,面面垂直的判定和利用空间向量求线线、线面和面面的夹角.（1）利用线面垂直的判定得 AB平面 BCD,再利用线面垂直的性质得 ABCD,再利用利用线面垂直的判定得 CD平面 ABE,最后利用面面垂
16、直的判定得结论;（2）利用空间向量求面面的夹角计算得结论.20.【答案】解：（）由已知得，又 a2=b2+c2，解得 a=2， b=1， c= ，椭圆 C 的方程为 （）证明：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），当直线 AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知 x1=x2， y1=-y2，以 AB 为直线的圆经过坐标原点，=0， x1x2+y1y2=0，又点 A 在椭圆 C 上，=1，解得| x1|=|y1|=此时点 O 到直线 AB 的距离 - 19 -（2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y=kx+m，联立 ，得（1+4 k2） x2+8kmx+4m2-4=0
17、， ，以 AB 为直径的圆过坐标原点 O， OA OB，= x1x2+y1y2=0，（1+ k2） x1x2+km（ x1+x2）+ m2=0，（1+ k2），整理，得 5m2=4（ k2+1），点 O 到直线 AB 的距离 =，综上所述，点 O 到直线 AB 的距离为定值（3）设直线 OA 的斜率为 k0，当 k00 时， OA 的方程为 y=k0x， OB 的方程为 y=-，联立 ，得 ，同理，得 ， AOB 的面积 S=2，令 1+ =t， t1，则 S=2 =2 ，- 20 -令 g（ t）=-+ +4=-9（ ） 2+ ，（ t1）4 g（ t） ， ，当 k0=0 时，解得 S=1
18、， ， S 的最小值为 【解析】（）由已知得 ，又 a2=b2+c2，由此能求出椭圆 C 的方程（）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），当直线 AB 的斜率不存在时，x 1x2+y1y2=0，点 O 到直线AB 的距离为 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y=kx+m，联立 ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m2-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点 O 到直线 AB 的距离为 ，由此能证明点 O 到直线 AB 的距离为定值 （3）设直线 OA 的斜率为 k0，OA 的方程为 y=k0x，OB 的方程为 y=- ，联立 ，得 ，同理，得 ，由此能求出AO
19、B 的面积 S 的最小值本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线 AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的- 21 -最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用21.【答案】解：（）函数 f（ x）=（ x-2） ex+a（ x-1） 2， f（ x）=（ x-1） ex+2a（ x-1）=（ x-1）（ ex+2a），若 a=0，那么 f（ x）=0（ x-2） ex=0x=2，函数 f（ x）只有唯一的零点 2，不合题意；若 a0，那么 ex+2a0 恒成立，当 x1 时， f（ x）0，此时函数为减函数；当 x1 时， f（ x）0，此时函数为增函数；此时当 x=1 时，函
20、数 f（ x）取极小值- e，由 f（2）= a0，可得：函数 f（ x）在 x1 存在一个零点；当 x1 时， ex e， x-2-10， f（ x）=（ x-2） ex+a（ x-1） 2（ x-2） e+a（ x-1） 2=a（ x-1） 2+e（ x-1）- e，令 a（ x-1） 2+e（ x-1）- e=0 的两根为 t1， t2，且 t1 t2，则当 x t1，或 x t2时， f（ x） a（ x-1） 2+e（ x-1）- e0，故函数 f（ x）在 x1 存在一个零点；即函数 f（ x）在 R 是存在两个零点，满足题意；若- a0，则 ln（-2 a）ln e=1，当 xl
21、n（-2 a）时， x-1ln（-2 a）-1ln e-1=0，ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，当 ln（-2 a） x1 时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递减，当 x1 时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，故当 x=ln（-2 a）时，函数取极大值，由 f（ln（-2 a）=ln（-2 a）-2
22、（-2 a）+ aln（-2 a）-1 2=aln（-2 a）-2 2+10 得：函数 f（ x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；若 a=- ，则 ln（-2 a）=1，当 x1=ln（-2 a）时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，- 22 -即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，当 x1 时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，故函数 f（ x）在 R 上单调递增，函数 f（ x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；
23、若 a- ，则 ln（-2 a）ln e=1，当 x1 时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，当 1 xln（-2 a）时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递减，当 xln（-2 a）时， x-10， ex+2a eln（-2 a） +2a=0，即 f（ x）=（ x-1）（ ex+2a）0 恒成立，故 f（ x）单调递增，故当 x=1 时，函数取极大值，由 f（1）=- e0 得：函数 f（
24、 x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为（0，+）证明：（） x1， x2是 f（ x）的两个零点， f（ x1）= f（ x2）=0，且 x11，且 x21，- a= =，令 g（ x）= ，则 g（ x1）= g（ x2）=- a，- 23 - g（ x）= ，当 x1 时， g（ x）0， g（ x）单调递减；当 x1 时， g（ x）0， g（ x）单调递增；设 m0，则 g（1+ m）- g（1- m）= -=，设 h（ m）=， m0，则 h（ m）=0 恒成立，即 h（ m）在（0，+）上为增函数，h（ m） h（0）=0 恒成立，即 g（1+ m
25、） g（1- m）恒成立，令 m=1-x10，则 g（1+1- x1） g（1-1+ x1） g（2- x1） g（ x1）= g（ x2） 2-x1 x2，即 x1+x22【解析】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大（）由函数 f（x）=（x-2）e x+a（x-1） 2可得：f（x）=（x-1）e x+2a（x-1）=（x-1）（e x+2a），对 a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案；（）设 x1，x 2是 f（x）的两个零点，则-a= = ，令 g（x）=，则 g（x 1）=g（x 2）=-a，分析 g（x）的单调性，令 m0，则 g（1+m
26、）-g（1-m）= ，设 h（m）= ，m0，利用导数法可得 h（m）h（0）=0 恒成立，即 g（1+m）g（1-m）恒成立，令 m=1-x10，可得结论22.【答案】解：（1）圆 C 的方程为 ，可化为直角坐标方程为 ，- 24 -即 ；（2）直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，代入 ，可得， ， ， ，的最小值为.【解析】此题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程的运用，属于中档题.（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆 C 的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，求 的最小值.23.【答案】解：（） ，- 25 - f（ x）3 等价于 ，解得： x-1 或 x1，原不等式的解集为（-，-11，）（）由（），可知当 时， f（ x）取最小值 ，即 ，由柯西不等式，有 ，当且仅当，即 ， ， 时，等号成立， a2 b2 c2的最小值为 【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查利用柯西不等式证明不等式（）通过讨论 x 的范围，去绝对值，分别解出不等式，再求并集即可；（）运用绝对值不等式的性质，求得 m=3，再由柯西不等式即可得证- 26 -
