1、12018-2019 学年宁夏石嘴山三中高二（上）第二次月考数学模拟试卷（理科） （12 月份）一选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1.已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，若 ，则 的值是（ ）A. 6 B. 6 C. D. 【答案】C【解析】【分析】两个平面垂直，则它们的法向量也垂直，利用法向量的数量积为零来建立方程，解方程求得 的值.【详解】由于两个平面垂直，故它们的法向量也垂直，即.故选 C.【点睛】本小题主要考查空间两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.2. 在（1，2）内的平均变化率为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C
2、【解析】【分析】利用平均变化率的定义列式求解，化简得出正确选项.【详解】当 时， ，当 时， ，故平均变化率为 ，故选 C.x=1 y=3 x=2 y=55321=2【点睛】本小题主要考查平均变化率的概念及运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.若 是 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）x2m23 12m2-3 -10,b0) l:y=x+2则双曲线的方程为（ ）A. B. x22y22=1 x24y24=1C. D. x23y23=1 x2y2=1【答案】A【解析】分析：根据渐近线的方程和焦点坐标，利用 的关系，列出方程求出 ，代入双曲线a,b,c a2,b2的方程即可.详解：
3、双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，x2a2-y2b2=1(a0,b0) l:y=x+2所以可得 ， 令 可得， ，ba=1 y=x+2 y=0 x=-2即 ，c= a2+b2=4解得 a2=2,b2=2双曲线的方程是 ，故选 A.x22-y22=1点睛：本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题. 本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于简单题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；作判断：根据条件判断双曲线的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：x y根据上述判断设方程 或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、 、的方程x2a2y2b2=1 y2a2x2b2
4、=1 b组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.5.若直线 的倾斜角为 30，则实数 m 的值是（ ）x+my2=03A. B. C. D. 33 33 3 3【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系列方程，解方程求得实数 的值.m【详解】将直线方程化为斜截式得 ，故直线的斜率为 ，根据斜率和倾斜角的y=-1mx+2m -1m对应关系有 ，解得 .故选 C.tan30=33=-1m m=- 3【点睛】本小题主要考查直线一般式化为斜截式，考查直线倾斜角和斜率的对应关系，考查特殊角的三角函数值以及运算求解能力.直线方程的一般式 化为斜截式得到Ax+By+C=0
5、，其中斜率是 ，截距是 .斜率是倾斜角的正切值，其中 角的斜率不存在.y=-ABx-CB -AB -CB 906.已知 ，则 （ ）f(x)=12x2+2xf(2016)2016lnx f(2016)=A. 2015 B. 2015 C. 2016 D. 2016【答案】B【解析】【分析】将函数求导后，令 代入导函数，可求得所求的结果.x=2016【详解】对函数求导得 ，令 代入得 ，f(x)=x+2f(2016)2016x x=2016 f(2016)=2016+2f(2016)1解得 ，故选 B.f(2016)=2015【点睛】本小题主要考查导数的运算公式，考查运算求解能力.属于基础题.主
6、要考点是.af(x)=af(x)7.如图， D 是 的边 AB 的中点，则向量 等于（ ）ABC CDA. B. C. D. BC+12BA BC12BA BC12BA BC+12BA【答案】A4【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：.CD=CB+BD=BC+12BA=12BABC本题选择 A 选项.8.曲线 与曲线 的( )x225+y29=1 x225k+y29k=1(k1)论中正确的是（ ）5A. 曲线 C 关于 x 轴对称B. 曲线 C 关于 y 轴对称C. 曲线 C 关于坐标原点对称D. 曲线 C 经过坐标原点【答案】A【解析】【分析】先根据阿波罗尼斯圆的定义求得这个曲线 的方程
7、，再根据所求得的方程对选项逐一进行排C除，从而得出正确选项.【详解】设动点 ，根据阿波罗尼斯圆的定义有 ，两边平方并化简得P(x,y)(x+1)2+y2(x1)2+y2=a，故圆的圆心为 ，半径为 .由此可知圆关于 轴对称，不关(xa2+1a21)2+y2=(2aa21)2 (a2+1a21,0) r=2aa21 x于 轴，原点对称.B,C 选项错误， A 选项正确.由于 ， ，所以y a1 a2+12a21=2a，故圆不经过坐标原点，D 选项是错误的.a2+1a212aa21【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查对新概念的理解，考查图形的对称性，属于中档题.11.已知 中，
8、， ，将 绕 BC 旋转得 ，当直线 PC 与平面ABC ACB=90 AB=2BC=2 ABC PBCPAB 所成角的正弦值为 时， P、 A 两点间的距离是（ ）66A. 2 B. 4 C. D. 22 23【答案】C【解析】【分析】将直线 与平面 所成的角作出来，根据线面角的正弦值为 列方程，求得未知的边长，PC PAB66结合勾股定理，即可得解.【详解】画出图像如下图所示.设 是 的中点，则 ，过 作 交 于 ，连接D PA CDPA C CEBD BD E.由于 ，所以 平面 ，所以 ，故 平面 ，所以 ，PE BCAC,BCPC BC ACP BCPA PA BCD PACE结合
9、，证得 平面 .故 是直线 与平面 所成的角.故 ，CEBD CE PAB CPE PC PABCEPC=CE3=66.设 ，则 ，在直角三角形 中，利用面积公式有CE=22 CD=n BD= 1+n2 PCD6，解得 ，即 ，故 , .121n=12 1+n2 22 n=1 CD=1 PD= 3-1= 2PA=2PD=22【点睛】本小题主要考查直线与平面所成的角的作法以及应用，考查空间想象能力和几何作图能力，属于中档题.12.已知 P 是双曲线 上一点， F1、 F2是左右焦点， 的三边长成等差数列，x24y2b2=1(b0) PF1F2且 ，则双曲线的离心率等于（ ）F1PF2=120A.
10、 B. C. D. 357 352 27 72【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程求得的值，利用等差中项的性质，用来表示出 ，根据余弦定理列|PF1|,|PF2|方程，求得的值，由此求得离心率.【详解】根据双曲线的方程得 ，由于 的三边长成等差数列，故a=2 PF1F2，根据双曲线的定义，有 ，而 ，由2|PF2|=|PF1|+|F1F2| |PF1|PF2|=2a=4 |F1F2|=2c解得 ，在 中， ，所以由余弦定理得|PF1|=2c4,|PF2|=2c8 PF1F2 F1PF2=1207，化简得 ，由于 ，故解得 ，离(2c)2=(2c4)2+(2c8)2+(2c4)(2c8) c
11、29c+14=0 ca c=7心率为 .ca=72【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查等差中项的性质，考查双曲线的定义，还考查了余弦定理解三角形.在双曲线的定义中，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数 .在应用余弦定理时，要注意 角的余弦值是负数 .最后要注意双曲线 ，2a 120 ca所以解只有一个.二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13.已知 ， ，若至少存在一个实数 x 使得 成立， a 的范围f(x)=13x3+x xR f(ax)+f(ax21)0需要一元二次不等式对应的判别式大于零，即 ，解得 .综上所述，14a(a1)0 01“ ”是“函数
12、 为偶函数”的充要条件；=2+k(kZ) y=sin(2x+)命题 ，使 ”；命题 “若 ，则 ”，那么 为真p:x0R sinx0+cosx0=32 q: sinsin (p)q命题其中正确的序号是_【答案】【解析】命题“若 ，则 ”为真，所以其逆否命题为真命题；=4 tan=1命题 则 ，使 ；p:xR,sinx1 p:x0R sinx01函数 为偶函数，则 ，所以“ ”是“函数y=sin(2x+) =2+k(kZ) =2+k(kZ)为偶函数”的充要条件；y=sin(2x+)因为 ， 所以命题 为假命题，所以 为假命题sinx0+cosx0 2sin4， p， q: (p)q所以正确命题的
13、序号是点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论. 2 命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或” “且”的否定， “或”的否定为“且” ，且”的否定为“或”.三解答题（共 6 小题，满分 10 分）17.设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为f(x)=ax-bx y=f(x) (2,f(2) 7x-4y-12
14、=0（1）求 的解析式；f(x)（2）证明：曲线 上任意一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为y=f(x) x=0 y=x定值，并求此定值【答案】(1) (2)见解析f(x)=x3x【解析】10【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点 在曲线(2,f(2)上，利用方程联立解出 ；（2）可以设 为曲线上任一点，得到切线方程，再利用a,b P(x0,y0)切线方程分别与直线 和直线 联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即x=0 y=x可【详解】 （1）因为函数 ，f(x)=ax-bx曲线 在点 处的切线方程为 y=f(x) (2,f(2) 7x-
15、4y-12=0所以 ，f(x)|x=2=a+bx2|x=2=74所以 ， ，a+b4=74 2a-b2=12解得 ， ，a=1 b=3故 ；f(x)=x-3x（2）证明：设 为曲线上任一点，P(x0,y0)由 知曲线在点 处的切线方程为y=1+3x2 P(x0,y0)，y-y0=(1+3x02)(x-x0)令 ，得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为 ；x=0 y=-6x0 x=0 (0,-6x0)令 ，得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为（2x 0，2x 0） ；y=x y=x=2x0 y=x所以点 处的切线与直线 ， ，P(x0,y0) x=0 y=x所围成的三角形面积为 12|-6x0|2
16、x0|=6故曲线 上任一点处的切线与直线 ，y=f(x) x=0 y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为 6【点睛】本题考查了导数及切线方程、三角形面积的相关知识，运算量较大，属于中档题18.如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形， P 点是四边形 ABCD 所在平面外一点，连接PA、 PB、 PC、 PD，设点 E、 F、 G、 H 分别为 PAB、 PBC、 PCD、 PDA 的重心试用向量法证明 E、 F、 G、 H 四点共面11【答案】见解析【解析】【分析】画出图形，利用三角形的重心定义，结合平面向量的线性运算法则，得出 ，即EG=EF+EH证 四点共面E,F,G,H【详解】分
17、别延长 PE、 PF、 PG、 PH，交对边于 M、 N、 Q、 R 点，因为 E、 F、 G、 H 分别是所在三角形的重心，所以 M、 N、 Q、 R 为所在边的中点，顺次连接 M、 N、 Q、 R 得到的四边形为平行四边形，且有 ， ， ， ；如图所示，PE=23PMPF=23PN PG=23PQ PH=23PR MQ=MN+MR=(PN-PM)+(PR-PM)=32(PF-PE)+32(PH-PE)；=32(EF+EH)又 ，MQ=PQ-PM=32PG-32PE=32EG ，32EG=32(EF+EH)12 EG=EF+EH由共面向量定理知： E、 F、 G、 H 四点共面【点睛】本题考
18、查了平面向量线性运算与应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题目19.如图，已知梯形 与梯形 全等， ， ， ， ，ABCD ADEP PAAD ED/PA PC=3 PA=AD=AB=2， 为 中点. DE=BC=1 F PC（）证明： 平面EF/ ABCD（）点 在线段 上(端点除外),且 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值.G PC DG PBC105 CGCP【答案】()见解析；（） .CGCP=23【解析】试题分析：（）：设 为 中点，连结 ,易得四边形 是平行四边形，有 ，进H AC FH EDHF EF/HD而可证线面平行；（）由 ， 得 平面 ，以 为坐标原点， ，
19、 ， 的方向分别为PAAC PAAD PA ABCD A AB AD AP轴、 轴、轴正方向,建立空间直角坐标系 .设点 在 上，且 ，求得平面x y A-xyz G PC CG=CP的个法向量 ，设 与平面 所成角为，则 ，从而得解.PBC n DG PBC sin=|cosn, DG|=105试题解析：（）证明：方法一：设 为 中点，连结 ,因为 为 中点,H AC FH F PC所以 是 的中位线， .HF PAC HF/12AP由已知 ，所以 ，因此四边形 是平行四边形，DE/12AP HF/DE EDHF所以 .EF/HD又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .EF ABCD HD AB
20、CD EF/ ABCD13方法二：延长线段 ， ，交于点 ，连结 ，由 ，则 是 的中点，又 是PE AD K CK PA=2DE=2 E PK F的中点，所以 是 的中位线，所以 .PC EF PCK EF/CK又 平由 ， 平面 ，所以 平面 . EF ABCD CK ABCD EF/ ABCD（）由梯形 与梯形 全等,ABCD ADEP因为 ， ，PAAD BC/AD所以 ， .ABBC ABAD中， ， RtABC PA=AB=2 BC=1所以 .因为 ,AC= AB2+BC2= 5 PC=3故有 ,从而 ,PA2+AC2=PC2 PAAC又因为 ， ,所以 平面 .PAAD ADAC
21、=A PA ABCD以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、轴正方向,建立空间直角坐标系A AB AD AP x y.设点 在 上，且 ， ， ,A-xyz G PC CG=CP B(2, 0, 0) P(0, 0, )， ，所以 ，C(2, 1, 0) D(0, 2, 0) BC=(0, 1, 0) CP=(-2, -1, 2)设 是平面 的个法向量，则n=(x, y, z) PBC nBC=0,nCP=0, 即 取y=0,-2x-y+2z=0, n=(1, 0, 1)，AG=AC+CG=(2, 1, 0)+(-2, -1, 2)=(2-2, 1-, 2)故 .DG=(2-2, 1
22、-, 2)-(0, 2, 0)=(2-2, -1-, 2)设 与平面 所成角为，DG PBC则 ，即 .sin=|cosn, DG|2-2+2|2(2-2)2+(-1-)2+42=105解得 ， (舍去),故 .1=23 2=0 CGCP=2314点睛：（1）利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角（2）利用直线的方向向量求异面直线所成的角时，要注意直线方向向量的夹角和异面直线所成角的区别，不要
23、得到错误的结论20.椭圆 E： 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为 x2a2+y2b2=1(ab0) F1(-23,0) F2(23,0) F1 312的直线与椭圆的一个交点在 x 轴上的射影恰好为 F2（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）设直线 与椭圆 E 交于 A， C 两点，与 x 轴交于点 H，设 AC 的中点为 Q，试问l:y=12x+m是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由|AQ|2+|QH|2【答案】 （） .（） . x216+y24=1 10【解析】试题分析：（）过 且斜率为 的直线方程为 ，令 ，则 ，F1(-23,0)312 y=312(x+23) x=23
24、y=1可得 ，求出 的值即可求得椭圆 的标准方程；（ ）由 可得a2-b2=1212a2+1b2=1 a、 b E y=x2+mx2+4y2=16 ，设 ，根据弦长公式可得 的值，根据两点间距离公x2+2mx+2m2-8=0 A(x1,y1),C(x2,y2) |AC|式可得 的值，则 .|HQ| |AQ|2+|HQ|2=14|AC|2+|HQ|2=1454(32-4m2)+5m24=10试题解析：（）过 且斜率为 的直线方程为 ，令 ，则F1(-23,0)312 y=312(x+23) x=23由题意可得 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程 .y=1 a2-b2=1212a2+1b2=1 a2=
25、16, b2=4 E x216+y24=1（）由 可得 ，设 则有 ， y=x2+mx2+4y2=16 x2+2mx+2m2-8=0 A(x1,y1),C(x2,y2) x1+x2=-2mx1x2=2m2-8 ，又 ， 为 的中点，|AC|=52(x1+x2)2-4x1x2=5232-4m2 y1+y2=12(x1+x2)+2m=m Q AC直线与 轴的交点为 ，所以 ， Q(-m,m2) x H(-2m,0) |HQ|= m2+m24= 5m2415，|AQ|2+|HQ|2=14|AC|2+|HQ|2=1454(32-4m2)+5m24=10所以 为定值 . |AQ|2+|HQ|2 10【方
26、法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.如图所示，三棱锥 PABC 中， D 是 AC 的中点， ， ，PA=PB=PC= 5 AC=22,AB= 2BC= 6（1）求证： PD平面 ABC；（2）求二面角 PABC 的正切值大小【答案】(1)见解析 (2) 2【解析】【分析】（1）连接 ，推导出 ，由此能证明 平面 .（2）取 的中BD
27、PDAC,ABBC,PDBD PD ABC AB点 ，连接 ，则 ,由 ，得 ，由 平面 ，得 ，由E DE,PE DE/BC ABBC ABDE PD ABC PDAB，得 平面 ，从而 ，进而 是二面角 的平面角，解三角形ABDE AB PDE PEAB PED PABC求得二面角 的正切值PABC【详解】 （1）连接 BD， D 是 AC 的中点， ， PA=PB=PC= 5 PDAC ， ， ， AC=22 AB= 2 BC= 6 AB2+BC2=AC2 ，即 AB BCABC=90 BD=12AC= 2=AD ， ，PD2=PA2-AD2=3 PB= 5 PD BDPD2+BD2=P
28、B216 AC BD=D， PD平面 ABC.（2）取 AB 的中点 E，连接 DE、 PE，由 E 为 AB 的中点，知 DE BC， AB BC， AB DE PD平面 ABC， PD AB又 AB DE， ，DEPD=D AB平面 PDE， PE AB 是二面角 P AB C 的平面角PED在 PED 中， ， ， ，DE=12BC=62 PD= 3 PDE=90 tanPED=PDDE= 2二面角 P AB C 的正切值为 2【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函
29、数与方程思想，是中档题22.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，实轴长 2 (2,0) 3（1）求双曲线的方程（2）若直线 与双曲线恒有两个不同的交点 A， B，且 为锐角（其中 O 为原l:y=kx+ 2 AOB点） ，求 k 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .x23y2=1 k(1,33)(33,1)【解析】试题分析; （1）依题意先设双曲线的方程为 ，依据题中条件得到、的值，x2a2y2b2=1(a0,b0)进而由 得到 的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设 ，联立b2=c2a2 b2 A(x1,y1),B(x2,y2)直线与双曲线的方程，消去 得到二次方程，要使 为锐角
30、，只须 即可， 将y AOB OAOB0进行坐标化并将根据韦达定理得到表达式，可求范围。OAOB0解析：（1）依题意可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)则有 且 ，所以 ，2a=23 c=2 a= 3 b2=c2-a2=4-3=117所以该双曲线的方程为x23-y2=1（2） y=kx+ 2x2-3y2=3 x2-3(kx+ 2)2=3(1-3k2)x2-62kx-9=01-3k20=622k2+36(1-3k2)02k2+1-2k20k21x1+x2=62k1-3k2,x1x2= -91-3k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)OAOB=x1x2+(kx+ 2)(kx2+ 2) =(1+k2)x1x2+ 2k(x1+x2)+2， 即综上： .点睛： 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用
