1、1第八章 二元一次方程组1.二元一次方程组的解法选择技巧(1)当方程组中某一个未知数的系数是 1 或-1 时,选用代入消元法.(2)当方程组中某一个方程的常数项为 0 时,选用代入消元法.(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时,选用加减消元法.(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系时,选用加减消元法.(5)当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法,从而使原方程组变为结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.【例 1】解方程组: =2-3,5+=11, 【标准解答】将代入得:5x+2x-3=11,解得:x=2,将 x=2 代入得:y=1,则
2、方程组的解为 =2,=1.【例 2】解方程组: +3=8,5-3=4. 【标准解答】方法一(代入消元法):+3=8,5-3=4. 由得 x=8-3y,把代入得 5(8-3y)-3y=4,解得 y=2,把 y=2 代入得 x=2,所以方程组的解为 =2,=2.方法二(加减消元法): +3=8,5-3=4. +得,6x=12,解得 x=2,将 x=2 代入,得 y=2,所以方程组的解为 =2,=2.2【例 3】解方程组 3+2=7,2+3=8. 【标准解答】方法一:3-2,得 5y=10,所以 y=2,把 y=2 代入,解得 x=1.所以原方程组的解为 =1,=2.方法二:由+,并整理,得 x+y
3、=3.由-,得 x-y=-1.由+,并整理,得 x=1.把 x=1 代入,得 y=2.所以原方程组的解为 =1,=2.【例 4】解方程组+6 +-10=3,+6 -10=-1.【标准解答】设 =m, =n.+6 -10原方程组可化为 +=3,-=-1.解得 =1,=2.+6 =1,-10=2.即 +=6,-=20.解得 =13,=-7.原方程组的解为 =13,=-7.31.解方程组 -3=2,-2=7. 2.解方程组 2+=4,2+1=5. 3.阅读探索(1)知识积累解方程组 ,(-1)+2(+2)=62(-1)+(+2)=6解:设 a-1=x,b+2=y,原方程组可变为 +2=6,2+=6,
4、解方程组,得 即=2,=2, -1=2,+2=2,所以 =3,=0.此种解方程组的方法叫换元法.(2)拓展提高运用上述方法解下列方程组: .(3-1)+2(5+2)=42(3-1)+(5+2)=54(3)能力运用已知关于 x,y 的方程组 ,的解为 ,直接写出关于 m,n 的方程组1+1=12+2=2 =5=3的解为 . 51(+3)+31(-2)=1,52(+3)+32(-2)=22.巧求方程组中的字母系数确定二元一次方程(组)中字母的取值,是一类常见的题目,解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识,得到含有字母系数的方程(组),然后解这个方程(组),求出待定字母.(1)利用两个方程组
5、的同解【例】已知关于 x,y 的方程组 和 的解相同,求 a,b 的值.2-3=3,+=-1 3+2=11,2+3=3【标准解答】解方程组 2-3=3,3+2=11.得 =3,=1.将其代入 ax+by=-1 和 2ax+3by=3,得 3+=-1,6+3=3.解得 =-2,=5. (2)借助给出的错解【例】在解方程组 时,甲同学因看错了 b 的符号,从而求得解为 乙同学因看-=13,-=4 =3,=2.漏了 c,从而求得解为 试求 a,b,c 的值.=5,=1.【标准解答】由题意,甲同学的错解实际上满足方程组 +=13,-=4.把 代入 cx-y=4,得 c=2;=3,=2把 代入 ax+b
6、y=13,=3,=25得 3a+2b=13.乙因看漏了 c,但没看错方程 ax-by=13,因而求得的解 满足这个方程,=5,=1即 5a-b=13.于是,可得关于 a,b 的方程组3+2=13,5-=13.解得 =3,=2.所以 a=3,b=2,c=2.1.已知方程组 和 有相同的解,求 a2-2ab+b2的值.4+=5,3-2=1 +=3,-=12.甲乙共同解方程组 由于甲看错了方程(1)中的 a,得到方程组的解为+5=15 ( 1),4-=-2 ( 2),乙看错了方程(2)中的 b,得到方程组的解为 试计算 a2 010+ 的值.=-3,=-1. =5,=4. (- 110)2 0116
7、(3)等腰三角形和二元一次方程组的综合应用【例】二元一次方程组 的解 x,y (xy)的值是一个等腰三角形两边的长,且这个等腰三+3=10,+=2角形的周长为 8,求腰的长和 m 的值.【标准解答】当 x 为底边,y 为腰长,由题意,得 +3=10,+2=8,解得 =4,=2,2+2=4,不能构成三角形,故此种情况不成立.当 y 为底边,x 为腰长,由题意,得 +3=10,2+=8,解得 =2.8,=2.4,2.4+2.82.8,能构成三角形,2.8+2.4=2m,解得:m=2.6.(4) 借助方程的变形【例】已知 3x+7y+z=35,4x+10y+z=40,求 x+y+z 的值.【标准解答
8、】由题意,得方程组3+7+=35,4+10+=40.变形,得 (2+6)+(+)=35,(3+9)+(+)=40. 由3-2,得 x+y+z=25.7在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为“格点”,顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L,例如,图中的三角形 ABC 是格点三角形,其中 S=2,N=0,L=6;图中格点多边形DEFGHI 所对应的 S,N,L 分别是 .经探究发现,任意格点多边形的面积 S 可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数,则当 N=5,L=14 时,S= .(用数
9、值作答) 3.三元一次方程组的消元策略解三元一次方程组的基本思路是消元,即化三元为二元,从而转化为二元一次方程组求解,这里的关键是消元,解题时应根据题目的特点,灵活地进行消元.(1)先消某个方程中缺少的未知数【例】解方程组 +3+2=2, (1)2-=7, (2)3+2-4=3. (3)【标准解答】(1)2+(3),得 5x+8y=7.(4)(2)8-(4),得 21x=63,即 x=3,从而,得 y=-1,把 x=3,y=-1 代入(1),得 z=1所以方程组的解为 =3,=-1,=1. (2)先消系数最简单的未知数【例】解方程组 3-+2=3, (1)2+-3=11, (2)+=12. (
10、3)【标准解答】(1)+(2),得5x-z=14, (4)(2)-(3),得 x-4z=-1, (5)(4)-(5)5,得 19z=19,即 z=1,把 z=1 代入(4),得 x=3,把 x=3,z=1 代入(3),得 y=8,所以方程组的解是 =3,=8,=1.(3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数8【例】解方程组 2+3=11, (1)3+2-2=11, (2)4-3-2=4, (3)【标准解答】(1)2-(2),得x+8z=11. (4)(1)3+(3),得 10x+7z=37. (5)解由(4)与(5)组成的方程组,得 x=3,z=1,把 x=3,z=1 代入(1),得
11、 y=2,所以原方程组的解为 =3,=2,=1.(4)设比值参数消元【例】解方程组 =32, (1)=54, (2)+=66. (3)【标准解答】设每一份为 k,则x=3k,y=2k,z=1.6k, (4)把(4)代入(3)得 3k+2k+1.6k=66,k=10,则 x=310=30,y=210=20,z=1.610=16,所以方程组的解是 =30,=20,=16.1.解方程组: +=26, -=1, 2-+=18. 92.若 xyz=275,x-2y+3z=6,求 x,y 与 z 的值.4.利用方程组求与图形有关的问题结合几何图形知识,利用问题中的数量关系解决实际问题.【例】小明在拼图时,
12、发现 8 个一样大小的长方形,如图(1)所示,恰好可以拼成一个大的矩形. 小红看见了,说:“我来试一试,”结果小红七拼八凑,拼成如图(2)那样的正方形,咳!怎么中间还留下了一个洞,恰好是边长为 2 cm 的小正方形!你能帮他们解开其中的奥秘吗?(提示:能求出小长方形的长和宽吗?)10【标准解答】设长方形长为 x cm,宽为 y cm,则 3=5,2-=2,解得 =10,=6.故长方形长为 10 cm,宽为 6 cm.如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米?答案解析1.二元一次方
13、程组的解法选择技巧【跟踪训练】1.【解析】-,得-y=-5,所以 y=5,把 y=5 代入,得 x=17,所以方程组的解是 =17,=5.2.【解析】2-,得 4x-1=8-5x,解得:x=1,将 x=1 代入,得 y=2,则方程组的解为 =1,=2.3.【解析】(2)设 -1=x, +2=y,3 5方程组变形为: ,+2=42+=511解得 ,即 ,=2=1 3-1=25+2=1解得 .=9=-5(3)能力运用设 ,5(+3)=3(-2)=可得 ,5(+3)=53(-2)=3解得 .=-2=3 答案: =-2=3 2.巧求方程组中的字母系数【跟踪训练】1.【解析】解方程组 ,4+=53-2=
14、1得 ,把 代入第二个方程组=1=1 =1=1得 ,解得 ,则 a2-2ab+b2=22-221+12=1.+=3-=1 =2=12.【解析】将 代入方程(2),=-3=-1得 4(-3)-(-1)b=-2,解得 b=10.将 代入方程(1),=5=4得 5a + 5 4=15,解得 a=-1.将 a=-1,b=10 代入 a2 010+(- b)2 011,110得 a2 010+ =(-1)2 010+ =1 -1 =0.(- 110)2 011 (- 110 10)2 011【跟踪训练】【解析】观察可得图中格点多边形 DEFGHI 所对应的 S,N,L 分别是 7,3,10,即 S=7,
15、N=3,L=10.当 S=2,N=0,L=6 时,即 2=6b+c,当 S=7,N=3,L=10 时,即 7=3a+10b+c,12在图形中取一个边长为 2 的格点正方形,容易得知 S=4,N=1,L=8,即 ,解得 ,2=6+7=3+10+4=+8+ =1=12=-1即 S=N+ L-1,12当 N=5,L=14 时,S=11.答案:113.三元一次方程组的消元策略【跟踪训练】1.【解析】-,得 x-2y=-8 ,解由组成的二元一次方程组,得 ,=10=9把 代入,得 10+9+z=26,=10=9解得 z=7,所以原方程组的解是 .=10=9=72.【解析】因为 xyz=275,所以设 x=2k,y=7k,z=5k,又因为 x-2y+3z=6,所以 2k-27k+35k=6,解得 k=2,所以 x=4,y=14,z=10.4.利用方程组求与图形有关的问题【跟踪训练】【解析】设 AB=x,BC=y,则有,4+=100=400解得: .=20=20答:羊圈的边长 AB,BC 都为 20 米.13
