1、考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.,第8节 函数与方程,知 识 梳 理,1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.,f(x)0,x轴,零点,f(a)f(b)0,2.二次函数y
2、ax2bxc(a0)的图象与零点的关系,(x1，0)，(x2，0),(x1，0),常用结论与易错提醒 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点). 2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示.所以f(a)f(b)0是图象连续的函数yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).( )(2)图象连续的函数yf(x)(x
3、D)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.( )(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.( )(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).( )解析 (1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案 (1) (2) (3) (4),2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析 由函数是偶函数，排除选项
4、B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案 A,3.(必修1P88例1改编)函数f(x)ex3x的零点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3,答案 B,答案 C,5.函数f(x)ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.,解析 根据题意得：f(2)(2)24，则f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20(x0)，解得：x1，则函数f(x)的零点个数为1. 答案 14 1,考点一 函数零点所在区间的判断 【例1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间(
5、 )A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内(2)(一题多解)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4),解析 (1)a0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.,(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值
6、范围.作图如下： 可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).,法二 易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数， 且f(1)1210. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. 答案 (1)A (2)B,规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,故f(x)的零点x0(2，3). 答案 C,答案 (1)B (2)2,规律方法
7、 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.,又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.,(2)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，则函数的零点个数即为函数ysin 2x与函数yx2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点. 答案 (1)2 (2)2,(2)由f(x4)f(
8、x)知，函数的周期T4. 又f(x)为偶函数， f(x)f(x)f(4x)， 因此函数yf(x)的图象关于x2对称. 又f(2)f(6)f(10)2， 要使方程f(x)logax有三个不同的实根.,由函数的图象(如图)，,规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法： (1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.,因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根， aex(x0)，则1a0.,(2)在同一坐标系中，作出yf(x)与yb的图象. 当xm时，x22mx4m(xm)24mm2， 要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3. 答案 (1)D (2)(3，),
