1、第6节 幂函数、指数函数、对数函数,知 识 梳 理,1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如_的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象,yx,(3)常见的5种幂函数的性质,0，),y|yR， 且y0,2.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质,(0，),(0，1),y1,0y1,y1,0y1,增函数,减函数,3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质,(0，),R
2、,(1，0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,ylogax,yx,常用结论与易错提醒 1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件. 2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线xT1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线xT0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线yk0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.,基 础 自 测
3、,解析 (1)错误，y1的图象去掉点(0，1)才是yx0的图象；,yloga(x21)(a0且a1)，真数为x21而不是单自变量x.,而yln(x1)ln(x1)的定义域为(1，)， 故函数的定义域不同. 答案 (1) (2) (3) (4),2.函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是( ),答案 D,3.(一题多解)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，01 D.00，即logac0，所以0c1.法二 由图可知，yloga(xc)的图象是由ylogax的图象向左平移c(c0)个单位而得到的，其中0c1，
4、再根据单调性易知0a1.答案 D,解析 要使函数f(x)有意义，则log2x10，即x2，则函数f(x)的定义域是2，). 答案 2，),5.若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_.,答案 1或2,6.当a0，且a1时，函数f(x)ax32必过定点_，其值域为_.解析 函数f(x)ax32的图象是将函数yax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)ax32必过定点(3，1)，其值域为(2，).答案 (3，1) (2，),考点一 幂函数 【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是( ) (2)已知幂函数f
5、(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为( )A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析 (1)设f(x)x(R)，则42，,(2)幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数，,又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1. 答案 (1)C (2)B,规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,答案 (1)C (2)A (3)D,令ux24x3(x2)27.,由于f(x)有最大
6、值3，所以h(x)应有最小值1，,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.,规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. (2)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.,解析 (1)因为0(1a)b(1b)b，故选D.,x27，即8x
7、27； 当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8. 综上，x(，27. (3)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1. 答案 (1)D (2)(，27 (3)1，1,解得x2， 所以函数的定义域为(，0)(2，)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，0).,(2)令g(x)ax2x，,当00，,当a1时，要使函数f(x)在区间2，4上是增函数， 则g(x)ax2x在2，4上单调递增，且g(x)min0，,又a1，所以a1， 综上可得a1. 实数a的取值范围为(1，).,规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,当a1时，不符合题意，舍去.,答案 (1)D (2)B (3)C,
