1、考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.,第4节 函数的奇偶性与周期性,知 识 梳 理,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期.,f(xT)f(x),存在一个最小,最小,常用结
2、论与易错提醒 1.函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b
3、，0)中心对称.( ),解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 B,3.(2019金华十校调研)下列函数中，是偶函数且在(0，)上为增函数的是( )A.ycos x B.y1x2C.ylog2|x| D.yexex解析 ycos x是偶函数，在(0，)上不具有单调性，所以选项A错误；y1x2是偶函数，在(0，)上是减函数，所以选项B错误；ylog2|x|是偶函数，在(0，)上是增函数，所以选项C正确；令f(x)e
4、xex，则f(x)exex(exex) f(x)，所以yexex是奇函数，所以选项D错误，故选C.答案 C,4.若函数yf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 020)f(2 019)( )A.2 020 B.0 C.1 D.2 020解析 因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0，且f(0)0，而f(2 020)f(21 0100)f(0)0，f(2 019)f(21 0091)f(1)0，故选B.答案 B,5.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1).又f(x)的图象
5、关于直线x2对称，f(1)f(3).f(1)3.答案 3,因此f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,函数f(x)为奇函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立， 函数f(x)为奇函数.,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在
6、判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,【训练1】 (1)(2019杭州质检)设函数f(x)b(a0且a1)，则函数f(x)的奇偶性( )A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,(2)依题意得对任意xR，都有f(x)f
7、(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错. 答案 (1)D (2)C,解析 (1)法一 令x0，则x0. f(x)2x3x2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f(x)f(x).f(x)2x3x2(x0).f(2)2232212.
8、法二 f(2)f(2) 2(2)3(2)212.,则ln(ax2x2)0，a1. 答案 (1)12 (2)1,规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.,解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.,
9、答案 (1)C (2)A,考点三 函数的周期性及其应用 【例3】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析 f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0，2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1，f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案 1 010,规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间
10、. (2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.,f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5). 22.53，由题意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5.,解析 (1)法一 f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f
11、(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C.,答案 (1)C (2)C,规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.,解析 (1)由题意，g(x)是定义在R上的奇函数， g(x)g(x). 由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，f(x1)f(x1). 由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)， f(x1)f(x1)f(x1)， f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0. f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.,g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0， 故Mm2. 答案 (1)C (2)2,
