1、12019 届河南省郑州第一中学高三（上）期中数学试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上
2、 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ，集合 ，则=|00)A1 B2 C4 D85定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时 ，则()()=() 0 ()=2+1,00,0)一条直线上，则 的一条对称轴为=()A=12B=6C=12D=768设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A若 ， ，则 B若 ， ，则 / /C若 ， ，则 D若 ， ， ，则/ =/9
3、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A B C D32 23 12 1310双曲线 C 的中心在坐标原点 O，右顶点 ，虚轴的上端点 ，虚轴下端点 ，左右焦点分2 2 1别为 、 ，直线 与直线 交于 P 点，若 为锐角，则双曲线 C 的离心率的取值范围1 2 12 22 22为A B C D(1+52 ,+) (1,1+52 ) (1+52 ,+) (3+52 ,+)11如图 1 是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1 号到 20 号同学的成绩依次为 ， ， ， ， ，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该1 2 3 20框图的输出结果是此卷只
4、装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2A12 B8 C9 D1112已知函数 ， ，若 与 的图象上存在关于直()=2(12) ()=+1 ()()线 对称的点，则实数 k 的取值范围是=1A B C D1,21 32,31 2 32,3 2,31二、填空题13已知函数 ，是奇函数，则数 a 的值为 _()=1+114在可行域 ，内任取一点 ，则满足 的概率是_10+30 (,) 2015若 ，在 的展开式中 的系数为 _=212 (+)6 3三、解答题16已知 是等比数列， 满足 ， ，且 1=2 2=811+22+=(21)31求数列 的通项公式及其前 n 项和 的表达式；(1
5、) 求数列 的通项公式(2) 17如图，在三棱柱 中， 和 均是边长为 2 的等边三角形，点 为111 1 中点，平面 平面 . 11 （1）证明： 平面 ；1 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 1118为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分吋租赁汽车具体收费标准为日间 元 分钟，晚间 时 30 分至次日上午 7 时 30 分0.5/ (18收费 35 元 小时，已知孙先生家离上班地点 20 公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次 由于) / .堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 分钟 是一个随机变量 现统计了 50 次路上开
6、车花( ) .费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：时间 分钟( ) (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 (60,70频数 4 16 18 10 2将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分(20,70钟若孙先生一次开车时间不超过 40 分钟为“路段畅通”，设 X 表示 4 次租用新能源分时租赁(1)汽车中“路段畅通”的次数，求 X 的分布列和期望；若公司每月给 1000 元的车补，请估计孙先生每月 按 22 天计算 的车补是否足够上、下班租(2) ( )用新能源分时租赁汽车？并说明理由 同一时段，用该区间的中点值作代表 .( )19
7、已知椭圆 C： 过点 ，且两个焦点的坐标分别为 ，22+22=(0) (3, 32) (1,0)(1,0)求椭圆 C 的方程；(1)若 A， B， M 为椭圆 C 上的三个不同的点， O 为坐标原点，且 ，求四边形 OAMB 的(2) =+面积20已知函数 .()= ， ()=e1（1）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围；()=273+ 1 ， 3 （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.()() (0 ， +) 321在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，以原点为极点， x 轴=2+22=1+22 ( )的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
8、程为 ，=22(+4) (56).分别写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；、(1)已知点 ，直线写曲线 C 相交于 M， N 两点，若 ，求实数 a 的(2) (2,1) |2=5|值22已知函数 ， ()=|2+1|+|+2|()=3+1当 时，求不等式 的解集；(1)=0 ()()当 ， 恒成立，求实数 a 的取值范围(2)1,)()()2019 届 河 南 省 郑 州 第 一 中 学高 三 （ 上 ） 期 中 数 学 试 题数 学 答 案参考答案1A【解析】【分析】利用并集定义直接求解即可.【详解】集合 ，集合 ， =|00)可知弦长的最小值是经过抛物线的焦点坐标与抛物线
9、的对称轴垂直的弦长，即 ，2=4解得 =2故选： B【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。5B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算 的值，又由 ，即可得答案(2) (2)=(2)【详解】根据题意，当 时 ，则 ，0 ()=2+1,00,0)可得 M、 P 关于点 N 对称， 的横坐标为 ， 的一条对称轴为 ，0+32 =6 =() =3+62 =12故选： A【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，关键是
10、看出来 M、 P 关于点 N 对称，属于基础题确定y Asin(x ) b(A0， 0)的步骤和方法：(1)求 A， b，确定函数的最大值 M 和最小值m，则 A ， b ；(2)求 ，确定函数的最小正周期 T，则可得 ；(3)求 ，常2 +2 2用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A， ， b 已知)或代入图象与直线 y b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定 值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时 x ；“最2小值点”(即图象的“谷点”)时 x .328D【解析】【分析】在 A 中， 或 ；在 B 中
11、， m 与 n 的位置关系不确定；在 C 中， n 与 的位置关系不确定；/ 在 D 中，利用线面平行的判定，性质判定【详解】在 A 中，若 ， ，则 或 ，故 A 错误； /在 B 中，若 ， ，则 m 与 n 的位置关系不确定，故 B 错误；/在 C 中，若 ， ，则 n 与 的位置关系不确定，故 C 错误；/ 在 D 中，过 n 作平面 ，过 n 作平面 ，= =， ， ， ，同理： ， ，/ = / /又 ， ， ，又 ， ， ，又 ， / = /，故 D 正确；/故选： D【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可
12、以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。9C【解析】【分析】在长方体中，可得四棱锥 ，其高为 1，由四棱锥的体积公式，可得所求答案【详解】由题意，几何体的直观图如图，是长方体的一部分，如右图所示， ，底面是梯形，上底为 1，下底为 2，高为 1，四棱锥的高为 1，四 边 形 =1+22 1=32几何体的体积为： 13321=12故选： C【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几
13、何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10B【解析】【分析】设双曲线的方程为 ，求出点 P 的坐标，再根据 是钝角，则 ，得到2222=1 110为 ，由几何概型的公式可得 的概率为： ；41213=52 20524=58【详解】约束条件 的可行域如图：10+30 由 解得 ，1=0+=3 (2,1)可行域 d 面积为 ，1224=4由 ，解得 +=3=2 (1.2)满足 的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为 ，2041213=5
14、2由几何概型的公式可得 的概率为： ；20524=58故答案为： 58【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用 考查数形结合以及计算能力在利.用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的15 135【解析】【分析】根据定积分求出 a 的值，再利用二项式展开式的通项公式计算展开式中 的系数3【详解】，=212=133|21=83+13=3，(+)6=(+3)6其展开式的通项公
15、式为：，+1=66(3)=63632令 ，解得 ，632=3 =2展开式中 的系数为 3 2632=135故答案为：135【点睛】本题考查了定积分与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求+1出 值即可;(2) 已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项， +1由特定项得出 值，最后求出其参数.16（1） ， （2） .=31 =312 =2 (=1)4(2) 【解析】【分析】直接利用题意，建立方程组 ，进一步求出数列的通项公式; 利用递推(1) 11=21
16、1+22=26 (2)关系式求出数列的通项公式【详解】是等比数列，且 (1) 11+22+=(21)31则： ，11=211+22=26 所以： ，22=24由于： 满足 ， ， 1=2 2=8故： ， 1=1 2=3所以：数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列则： =31所以： =3131=312由于： 且 (2) =31 11+22+=(21)31所以： ，1+32+31=(21)31当 时，2 1+32+321=(23)311得： ， 31=431故： ，=4当 时， 首项不符合通项，=1 1=2故： =2 (=1)4(2) 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，
17、利用递推关系式法求出数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17（1）见解析（2）64【解析】分析：(1)先根据等腰三角形性质得 A1OAC，再根据面面垂直性质定理即得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面 A1BC1的法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.详解：（）证明：AA 1=A1C，且 O 为 AC 的中点，A 1OAC，又平面 AA1C1C平面 ABC，且交线为 AC，又 A1O平面 AA1C1C，A 1O平面 ABC（）如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ,1
18、 由已知可得 ， , ，(0,0,0),(0,1,0) (3,0,0)1(0,0, 3),1(0,2, 3) ， ， ， =(3,1,0) 1=(3,0,- 3) 11=(0,2,0)设平面 A1BC1的法向量为 ，=(,)则有 ，2=03- 3=0 所以 的一组解为 =(1,0,1)设直线 与平面 所成角为 ， 11 则 =|, |又 = ， , |=322=64所以 与平面 所成角的正弦值为 1164点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“
19、应用公式关”.18（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】计算租用一次新能源汽车为“路段畅通”的频率，并视频率为概率，知 X 的可能取值，且(1)X 服从二项分布，计算对应的频率值，写出 X 的分布列，求出数学期望值； 计算租用一次新能源(2)汽车上下班平均用车时间和费用，求出一个月的总费用，比较即可【详解】孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的频率为 ，(1)4+1650=25视频率为概率，孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的概率为 ，25则 X 的可能取值为 0，1，2，3，4；且 X 服从二项分布 ，(4,25)所以 ；(=0)=04(35)4=81625；(=1)=1
20、425(35)3=216625；(=2)=24(25)2(25)2=216625；(=3)=34(25)335=96625；(=4)=44(25)4=16625的分布列为：X 0 1 2 3 4P81625 216625 216625 96625 16625数学期望为 ；()=425=85孙先生租用一次新能源汽车上下班，平均用车时间为 t，(2)则 分钟 ，=25450+351650+451850+551050+65250=43( )每次上下班租车的费用约为 元 ，430.5=21.5()一个月上下班租车的总费用约为 元 ，21.5222=946()因为 ，9460 42+320由 ，可得四边
21、形 OAMB 为平行四边形， =+ 3=1+23=1+2 ， 3=83+42 3=(1+2)+2=42123+42为椭圆 C 上的点，14(83+42)2+13( 63+42)2=1.3+42=42|=1+2|12|=1+2 (1+2)2412=31+2|又原点到直线 AB 的距离 ，= |1+2=2=|= |1+231+2|=3综上四边形 OAMB 的面积为 3【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方
22、法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20(1) m 的取值范围是 ;(2)实数 a 的取值范围是 .32 ， 32+54 ( ， 0【解析】试题分析：（1）即求函数 在区间 上值域，先求导数，再求=2+73 1 ， 3导函数零点，列表分析导数符号变化规律，确定单调性，进而根据单调性求值域，（2）先参变分离，转化为求对应函数最值： 的最小值，利用二次求导可得函数()()单调性，再根据单调性确定其最小值取法，最后根据最小值得实数 的取值范围.()=()() 试题解析：（1）方程 即为 . ()=273+ 2+73=令 ，则 . ()=2+73 (0
23、) ()=12+73=(3+1)(23)3令 ，则 （舍）， . ()=01=13 2=32当 x1， 3时， 随 x 变化情况如表: ()x 1 (1 ， 32) 32 (32 ， 3)3 () 0 () 43极大值32+54 32当 x1，3时， . ()32 ， 32+54m 的取值范围是 . 32 ， 32+54（2）据题意，得 对 恒成立 .()() (0 ， +)令 ，()=()()= 1 (0)则 . ()=(+1) 11=(+1) ( 1)令 ，则当 x0 时， ， ()= 1 ()=(+1) 0函数 在 上递增. ()(0 ， +) ，(0)=10 存在唯一的零点 c（0，1
24、），且当 x（0，c）时， ；当 时，() ()0当 x（0，c）时， ；当 时， . ()0 在（ 0，c）上递减，在 上递增，从而 . () ( ， +) () 1由 得 ，即 ，两边取对数得 ，()=0 1=0 =1 +=0 . ()=0 ，即所求实数 a 的取值范围是 . 0 ( ， 0点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21（1） , ；（2） .3=02+22+2=0=76【解析】【分析】直接利用转换关系式，把参数方程
25、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换; 利用一元二(1) (2)次方程根和系数的关系求出结果【详解】直线 l 的参数方程为 为参数 ，(1)=2+22=1+22 ( )转换为直角坐标方程为： 3=0曲线 C 的极坐标方程为 ，=22(+4) (56).转换为直角坐标方程为： ，2+22+2=0将直线的参数方程 为参数 ，代入圆的直角坐标方程，(2)=2+22=1+22 ( )得到： ， 和 为 A、 B 对应的参数 ，2 26=0 (1 2 )则： ， 1+2=2 12=6由于 ，|2=5|故： ，(12)2=512整理得： ，(1+2)2+12=0故： ，( 2)2+(56)=0解得： =7
26、6【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型22（1） ；（2） .2,+)(1,23【解析】【分析】运用分段函数形式写出 ，分别讨论 x 的范围，解不等式即可得到所求解集； 由题意(1) () (2)可得 ，可得 或 ，即 或 对|2+1|21 2+121 2+112 2223恒成立，由恒成立思想可得 a 的不等式，解不等式即可得到所求范围1,)【详解】当 时， ，(1)=0()=|+1|+|+2|=23,21,212+3,1 当 时， 即为 ，解得 ，此时无解；2 ()() 233+145当 时，原不等式即为 ，解得 ，此时无解；21 13+1 0当 时，有 ，解得 1 2+33+1 2综上可得，原不等式的解集为 ：2,+)当 ， 恒成立，(2)1,)()()即为 ，即有 ，|2+1|+23+1 |2+1|21可得 或 ，2+121 2+112即 或 对 恒成立，2223 1,)即有 或 ，122123解得 ，123则 a 的取值范围是(1,23.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题
