1、- 1 -河南省南阳市 2019 届高三上学期期中考试数学文试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 AxN|x3，Bx|x 2+6x160，则 AB（ ）A. x|8x2 B. 0，1 C. 1 D. 0，1，2【答案】B【解析】【分析】化简集合 A、 B，求出 A B 即可【详解】集合 A xN| x30，1，2，3，B x|x2+6x160 x|8 x2，A B0，1故选：B【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2.复数 的实部和虚部相等，则实数 b 的值为（ ）A. 1 B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的
2、乘除运算化简，再由已知列式求得 b 值【详解】因为： ，且复数 的实部和虚部相等， b0故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.已知向量 若 ，则 .【答案】【解析】- 2 -试题分析：由题意得 ，因为，解得 考点：向量的数量积的运算4.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若 x21，则 x1”的否命题是“若 x21，则 x1”B. 命题“ ”的否定是“ xR，x 2x0”C. “yf（x）在 x0处有极值”是“f（x 0）0”的充要条件D. 命题“若函数 f（x）x 2ax+1 有零点，则“a2 或 a2”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】对
3、于 A，根据否命题的概念可得到结论；对于 B 特称命题的否定是全称命题；C，根据极值点的概念判断即可；D，二次函数在 R 上有零点，即判别式大于等于 0 即可,可得到正误.【详解】对于 A，命题“若 x21，则 x1”的否命题是“若 x21，则 x1” ，否命题既否条件又否结论，故命题不正确；对于 B，命题“ ”的否定是“xR，x 2x0”故命题错误；对于 C， “yf（x）在 x0处有极值” ，则“f（x 0）0” ，反之，“f（x 0）0”不一定有“yf（x）在 x0处有极值” ；对于 D，命题“若函数 f（x）x 2ax+1 有零点，则“a2 或 a2”的逆否命题和原命题的真假性相同，原
4、命题f（x）x 2ax+1 有零点，只需要判别式大于等于 0，解得 a 的范围即 a2 或 a2，是正确的，故逆否命题也是正确的。故答案为：D.【点睛】这个题目考查了命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件.5.已知 O 为坐标原点，点 M 的坐标为（2，1） ，点 N 的坐标满足 ,则 的最大值为（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 1【答案】A- 3 -【解析】【分析】根据题意可得， 2 x y，令 Z2 x y，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l0：2 x y0，然后把直
5、线 l0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置【详解】根据题意可得， 2 x y，令 Z2 x y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的 ABC 阴影部分：做直线 l0：2 x y0，然后把直线 l0向可行域内平移，到点 A 时 Z 最大，而由 可得 A（1，0） ，此时 Zmax2故选：A【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型
6、）和距离型（型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。6.函数 的图象大致是( )- 4 -【答案】A【解析】试题分析：解：因为所以，函数 是偶函数, 其图象关 于轴对称；应排除 B、D又因为，当 时, , ,故选 A.考点：1、函数的奇偶性；2、 正弦函数的性质；3、对数函数的性质量.7.设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 考点：1对数；2大小比较8.已知正项等比数列a n的公比为 2，若 aman4a 22，则 的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答
7、案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质求出 m+n6，由乘“1”法求出代数式的最小值即可【详解】正项等比数列 an的公比为 2，若 aman4 a22，故 aman a2a2 2n2 2m2 =4 ,故 m+n6， ,- 5 -故 当且仅当 即 m2 n 时“”成立，故选：A【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查基本不等式的性质以及乘“1”法的应用，是一道中档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.函数 f（x）Asin
8、（x+） （其中 A0，0，| ）的图象如图所示，为了得到g（x）Acosx 的图象，只需把 yf（x）的图象上所有的点（ ）A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，得出结论【详解】根据函数 f（ x） Asin（ x+） （其中 A0，0，| ）的图象，可得A1， ，2再根据五点法作图可得 2 +，求得 ，函数 f（ x）sin（2 x+ ） 故把 y f
9、（ x）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，可得 ysin（2 x+ + ）cos2 x g（ x）的图象.故选： B【点睛】确定 y Asin(x ) b(A0， 0)的步骤和方法：(1)求 A， b，确定函数的- 6 -最大值 M 和最小值 m，则 A ， b ；(2)求 ，确定函数的最小正周期 T，则可得 ；(3)求 ，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A， ， b已知)或代入图象与直线 y b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定 值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时 x ；“最小值点”(
10、即图象的“谷点”)时 x .10.已知ABC 的外接圆半径为 2，D 为该圆上一点，且 ，则ABC 的面积的最大值为（ ）A. 4 B. 3 C. 4 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可【详解】由 知， ABDC 为平行四边形，又 A， B， C， D 四点共圆， ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，设 h 为三角形 ABC 的高，以 BC 为底， ABC 的面积 ；此时 AB AC， ABC 的面积取得最大值故选 C.【点睛】本题考查向量的几何中的应用，考查转化思想以及计算能力11.设点 P，Q 分别是曲线 yxe x （e
11、 是自然对数的底数）和直线 yx+3 上的动点，则P，Q 两点间距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对曲线 y xe x进行求导，求出点 P 的坐标，分析知道，过点 P 直线与直线 y x+2 平行且与曲线相切于点 P，从而求出 P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可【详解】点 P 是曲线 y xe x上的任意一点，和直线 y x+3 上的动点 Q，求 P， Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线 y xe x上与直线 y x+3 平行的切线与直线- 7 -y x+3 之间的距离由 y（1 x） e x，令 y（1 x） e x1，解得 x0，当 x0，
12、y0 时，点 P（0，0） ，P， Q 两点间的距离的最小值，即为点 P（0，0）到直线 y x+3 的距离， dmin .故选：B.【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题12.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）个A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 的零点个数就是 图象交点个数， 函数 是定义在上的偶函数，当 时， ，在同一坐标系画出函数的图象如图所示：由图可得：函数 的图象与直线 有 个交点，函数 的零点个数为 ，故选 B.【方法点睛】函数零点个数的三种判断
13、方法：(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）- 8 -13.在ABC 中，若 sinA：sinB：sinC3：4：6，则 cosB_【答案】 【解析】【分析】根据正弦定理得到边长之比，设出边长，再由余弦定理得到角 B 的余弦值.【详解】根据正弦定理得到
14、 sinA：sinB：sinC3：4：6=a:b:c,设 由余弦定理得到 .故答案为： .【点睛】这个题目考查了正弦定理实现边角互化，以及余弦定理解三角形的应用；在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14.若向量 、 、 两两所成的角相等，且 、 、 ，则 _.【答案】 或【解析】因为向量 、 、 两两所成的角相等，所以向量 、 、 两两所成的角为 或 0因此 或15.设数列 满足 ，则 的值为 .【答案】【解析】
15、试题分析： ，因此数列 为首项为- 9 -1，公差为 1 的等差数列，即 ，因此考点：数列通项，裂项相消法求和16.将边长为 2 的等边ABC 沿 x 轴正方向滚动，某时刻 A 与坐标原点重合（如图） ，设顶点 A（x，y）的轨迹方程是 yf（x） ，关于函数 yf（x）有下列说法：f（x）的值域为0，2；f（x）f（4）f（2018） ；f（x）是周期函数且周期为 6；滚动后，当顶点 A 第一次落在 x 轴上时，f（x）的图象与 x 轴所围成的图形的面积为其中正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】先根据题意画出顶点 P（ x， y）的轨迹，它的轨迹是一段一段的圆弧组成的图形从图形中可以看
16、出，关于函数 y f（ x）的说法的正确性【详解】根据题意画出顶点 P（ x， y）的轨迹，如图所示，- 10 -轨迹是一段一段的圆弧组成的图形，是以三角形边长为半径的圆上的圆弧，从图形中可以看出，关于函数 y f（ x）的有下列说法： f（ x）的值域为0，2，正确； f（ x）是周期函数，周期为 6，正确；由于 f（ x）的最大值为 2， （2018） f（2） f（4） ，故不正确；滚动后，当顶点 A 第一次落在 x 轴上时，的图象与 x 轴所围成的面积为 f（ x）的图象在区间0，6上与 x 轴所围成的图形的面积，其大小为一个正三角形和二段扇形的面积和，其值为 故正确，故答案为：【点睛
17、】本题主要考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列 an满足 a1= ,an+1=3an-1(nN *).(1)若数列 bn满足 bn=an- ,求证: bn是等比数列;(2)求数列 an的前 n 项和 Sn. 【答案】 （1）见解析；（2） 。【解析】【试题分析】 （1）先依据题设得到 an+1 =3 (nN *),从而有 bn+1=3bn,b1=a1- =1,然后运用等比数列的定义分析推证；（2）先
18、借助（1）的结论及题设条件求出- 11 -Sn=30+ +3+ +3 n-1+ ，然后运用等比数列的前 n 项和求解.解：(1) 由题可知 an+1 =3 (nN *),从而有 bn+1=3bn,b1=a1- =1,所以 bn是以 1 为首项,3 为公比的等比数列 . (2) 由第 1 问知 bn=3n-1,从而 an=3n-1+ ,有 Sn=30+ +3+ +3 n-1+ =30+31+32+3n-1+ n= . 18.已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 2sin2A+3cos（B+C）0（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积 S ，求 sinB+sinC
19、 的值【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到 2（1cos 2A）3cosA=0，解出角 A 的余弦值，进而得到角 A；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到 a= ，再结合正弦定理得到最终结果.【详解】 （1）在ABC 中 2sin2A+3cos（B+C）=0，2（1cos 2A）3cosA=0，解得 cosA= ，或 cosA=2（舍去） ，0A，A= ；（2）ABC 的面积 S= bcsinA= bc=5 ，bc=20，再由 c=4 可得 b=5，故 b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c） 23bc=21，a= ，
20、 sinB+sinCsinB+sinC 的值是 .【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果- 12 -边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19.已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 28n，b n是等差数列，且 anb nb n1 .(1)求数列b n的通项公式；(2)令 ，求数列c n的前 n 项和 Tn.【答案】 （1） ， ；（
21、2）【解析】试题分析：（1）首先根据 求出 的通项公式，设数列 的公差为 ，列出 和 的方程组，解出即可；（2）根据（1）可得数列 的通项公式，利用错位相减法求得结果.试题解析：(1)由题意知，当 时， .当 时， ，符合上式，所以 .设数列 的公差为 ，由 即 ，可解得 ，所以 .(2)由(1)知 ，又 ，得 ，.两式作差，得 ，所以 .点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列
22、等.- 13 -20.已知函数 f（x）x 3ax 2+bx+c（a，b，cR） （1）若函数 f（x）在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，b 的值；（2）在（1）的条件下，当 x2，6时，f（x）2|c|恒成立，求 c 的取值范围【答案】 （1） ； （2）(，18)(54，).【解析】【分析】(1)根据函数的极值的概念得到方程组解出参数值即可；（2）对函数求导得到函数的单调性和极值，进而得到函数的最大值为 c54，要使 f(x)54 ，当 c0 时，c542c，c18. c(，18)(54，)，此即为实数 c 的取值范围- 14 -【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值中
23、的应用，涉及恒成立求参的问题，对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0.21.已知 ， ，（1）求函数 的单调递增区间；（2）若 ， ， 为锐角 的三个内角，且 ，求 的取值范围.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得 ，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求单调递增区间（2）由锐角三角形以及 ，求出 范围，再结合正弦函数性质求 的取值范围.试题解析：（1）由 ， 得 ，故 的单调递增区间为 ，（2）依题可得又 ， ，解得： ，即 的取值范
24、围为22.设 ， .- 15 -（1）令 ，求 的单调区间；（2）当 时，证明： .【答案】 （I）详见解析；（II）详见解析.【解析】试题分析：（）求得函数 的解析式，求其导数，对参数分为 和 两种情形进行讨论，得其单调区间；（）要证 成立，即证 ，由（）得，利用导数判断函数 的单调性，求出最大值即可.试题解析：解：（）由 , .可得 .当 时, 时， ，函数 单调递增；当 时， 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减；所以，当 时，函数 单调递增区间为 ；当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（）只要证明对任意 ， .由（）知， 在 取得最大值，且 .令 ， ，则 在 上单调递增， .所以当 时， 即 .- 16 -
