1、高二数学 （ 理 ） 第 1 页（共 4 页） 2018 2019 学年度第一学期期末考试 高 二 数学 （ 理 ） （考试时间： 120分钟。试卷满分： 150分。 ） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上。 2将答案填在相应的答题卡内， 在试题卷上作答无效。 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 每题只有一个选项是最符合题意的。 1 “ a b 0” 的含义是 A a、 b 全不为 0 B a、 b 不全为 0 C a、 b 至少有一个为 0 D a 不为 0 且 b 为 0，或
2、 b 不为 0 且 a 为 0 2 已知 a R， p a2 4a 5， q (a 2)2，则 p 与 q 的大小关系为 A p q B p q C p q D p q 3 空间任意 五 个点 A、 B、 C、 D、 E，则 DA AE CD CB EA 等于 A DB B AC C AB D BA 4 数列 an满足 a1 12 ， an 1 1 1na，那么 a2018 A 1 B 12 C 1 D 2 5 若焦点在 y 轴上的双曲线的 一条 渐近线方程是 x 12 y，则该双曲线的离心率是 A 52 B 5 C 72 D 7 6 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a，
3、 b， c 若 c2 2ab a2 b2 6， C 23 ，则 ABC 的面积是 A 3 B 332 C 32 D 3 3 绝密 启用前 座号 高二数学 （ 理 ） 第 2 页（共 4 页） 7 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点， A、 B、 C 为该抛物线上三点， A、 B、 C 三点坐标分别为 （ x1， y1） 、 （ x2， y2） 、 （ x3， y3） 若 | FA | | FB | | FC | 9，则 x1 x2 x3 A 9 B 6 C 4 D 3 8 在 ABC 中， BAC 120 ， AD 为 BAC 的平分线， AB 2AC，则 A AB 2AD B AB 3AD
4、 C AB 2AD 或 AB 3AD D AB 5AD 9 已知数列 an是公比为 3 的等比数列 ， 且 a2 a4 a6 9，则 1 5 7 93log ( )a a a 的值是 A 15 B 15 C 5 D 5 10 命题 p：函数 f (x) lgx 1 有零点； 命题 q：存在 、 ，使 cos( ) cos cos 在 p q，p q， p， q， p q 中真命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截得到的，建立 下 图 的空间直角坐标系，已知 D（ 0， 0， 0） 、 B（ 2， 4， 0） 、
5、 A（ 2， 0， 0） 、 C（ 0， 4， 0） 、 E（ 2， 4， 1） 、 C1（ 0， 4， 3） 若 AEC1F 为平行四边形，则点 C 到平面 AEC1F 的距离为 A 4 1133 B 4 33 C 4 3333 D 4 3311 12 已知 x 0， y 0， 4x 32y 2，则 12x 15y 的最小值是 A 2 B 8 C 4 D 6 A x B C y E D F C1 z 高二数学 （ 理 ） 第 3 页（共 4 页） 二 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 写出命 题 “ 若 ac 0，则方程 ax2 2017x c 0（ a 0
6、） 的两根不全大于 0” 的 一个等价命题是 14 设 x， y 满足约束条件3310xyxyy ， ， ，则 z x y 的最 小 值为 15 我舰在岛 A 南偏西 50 方向相距 12 n mile 的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10 的方向航行，若我舰以 28 n mile/h 的速度用 1 小时追上敌舰，则敌舰的速度为 n mile/h 16 下列 四个命题 中， 正确的有 如果 a、 b 与平面 共面且 n a， n b，那么 n 就是平面 的一个法向量 ； 设 p：实数 x， y 满足 (x 1)2 (y 1)2 2； q：实数 x， y 满足111yxyxy ， ， ，
7、则 p 是 q 的充分 不必要条件 ； 已知椭圆 C1：22xm y2 1（ m 1） 与双曲线 C2：22xn y2 1（ n 0） 的焦点重合， e1， e2 分别为 C1， C2 的离心率，则 m n， 且 e1e2 1； 菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤。 17（ 10 分） 在 ABC 中，如果 2log c 2log a 1，且 B 45 ， 求 A 的度数 18（ 12 分） 已知命题 p： f (x) 313mx 在区间 （ 0， ） 上是减函数；命题 q：不等式 x2 4x m 4
8、的解集为 R 若命题 “ p q” 为真， “ p q” 为假， 求 实数 m 的取值范围 高二数学 （ 理 ） 第 4 页（共 4 页） 19（ 12 分） 已知数列 an满足 a1 2， an 1 2an 2n（ n N*） ，数列 bn满足 bn 2nna 求数列 an的前 n 项和 Sn 20（ 12 分） 设 F1、 F2分别是椭圆 E： x222yb 1（ 0 b 1） 的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 E 相交于 A、 B 两点，且 |AB| 43 若直线 l 的斜率为 1，求 椭圆 E 的标准方程 21（ 12 分） 已知 a， b， c 为不全相等的正实数，且 abc 1
9、 求证： a b c 21a 21b 21c 22（ 12 分） 如图 ， BC 平 面 CDP，四边形 ABCD 是正方形， CDP 为 等腰 直角三角形 ， CP AD， E 是 PC 的中点 （ 1） 证明： PA 平面 BDE （ 2） 求二面角 B DE C 的余弦值 A B D C P E 高二数学 （ 理 ） 答案 第 1 页（共 2页） 高二数学（ 理 ）期末卷 答案 一、选择题：本大题共 12小题，共 60分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A A C B B D C D C 二、填空题：本大题共 4小题，共 20分。 13若方
10、程 ax2 2017x c 0（ a 0）的两根均大于 0，则 ac 0 14 1 15 20 16 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。 17（ 10 分 ） 解：由 2log c 2log a 1，得 ： ac 22 由正弦定理得 ： sinsin AC 22 ， 即 2sin(135 C) 2 sinC， 即 2(sin135 cosC cos135 sinC) 2 sinC 6 分 所以 cosC 0，得 ： C 90 又因为 B 45 ，所以 A 45 ， 从而 A 的度数为 45 1 0 分 18（ 12 分） 解：对于命题 p，由 f (x) 313mx 在区间 （ 0，
11、） 上是减函数，得 1 3m 0，解得 ： m 13 ； 对于命题 q，不等式 x2 4x m 4 的解集为 R等价于不 等式 (x 2)2 m 的解集为 R， 因为 (x 2)2 0 恒成立，所以 m 0 4 分 因为命题 “ p q” 为真， “ p q” 为假，所以命题 p 和命题 q 一真一假 当命题 p 为真，命题 q 为假时，130mm ，得 ： 0 m 13 ； 8 分 当命题 p 为假，命题 q 为真时，130mm ，此时 m 不存在， 故实数 m 的取值范围是 0， 13） 12 分 19（ 12 分） 解： 由 bn 2nna ，得 ： bn 1 112nna ， 即 bn
12、 1 bn 112nna 2nna 12 ， 所以数列 bn是等差数列，首项 b1 1，公差为 12 所以 bn 1 12 (n 1) 12n ， 所以 an 2nbn (n 1) 2n 1 6 分 所以 Sn a1 a2 an 2 1 3 2 (n 1) 2n 1 所以 2Sn 2 2 3 22 (n 1) 2n 得 ： Sn 2 1 2 22 2n 1 (n 1) 2n 2n (n 1) 2n 2nn 即 Sn 2nn 12 分 高二数学 （ 理 ） 答案 第 2 页（共 2页） 20（ 12 分） 解：设 l 的方程式为 y x c，其中 c 21 b 2 分 设 A（ x1， y1）
13、、 B（ x2， y2） ，则 两点坐标满足 222 1y x cyxb ， ， 化简得 ： (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0 则 x1 x2 221 cb ， x1x222121bb 6 分 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 |AB| 2 |x2 x1|， 即 43 2 |x2 x1|， 则 89 (x1 x2)2 4x1x22224(1 )(1 )bb 224(1 2 )1bb 42281bb（ ） ，解得 ： b2 12 所以所求的椭圆 E 的标准方程为 ： x2212y 1 12 分 21（ 12 分 ） 证明：因为 a， b， c 都是正实数，且 abc 1， 所以 21a
14、 21b 2ab 2c， 21b 21c 2bc 2a， 21a 21c 2ac 2b， 8 分 以上三个不等式相加，得 ： 2( 21a 21b 21c ) 2(a b c)， 即 21a 21b 21c a b c， 因为 a， b， c 不全相等，所以上述三个不等式中 的 “ ” 不都 成立， 所以 a b c 21a 21b 21c 12 分 22（ 12 分 ） 解： 四边形 ABCD 是正方形 ， AD DC BC 平面 CDP， BC PD CDP 为等腰直角三角形， CP AD， CD PD， PD DC PD 平面 ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 设 PD
15、 DC a，则 D（ 0， 0， 0） 、 A（ a， 0， 0） 、 P（ 0， 0， a） 、 B（ a， a， 0） 、 E（ 0， 2a ， 2a ） 、 C（ 0， a， 0） AP （ a， 0， a） 、 DB （ a， a， 0） 、 DE （ 0， 2a ， 2a ） 、 DC （ 0， a， 0） 4 分 （ 1） 设平面 BDE 的一个法向量为 n1 （ x1， y1， z1） ，则有 1100DBDE ， ，nn即11110022ax ayaayz ， 111111xyz ， n1 （ 1， 1， 1） AP n1 a 0 a 0， AP n1， 又 AP平面 BDE， AP 平面 BDE 8 分 （ 2） 设平面 CDE 的一个法向量为 n2 （ 1， 0， 0） cos 131 33 ， 二面角 B DE C 的余弦值为 33 12 分 A B D P E C y z x
