1、- 1 -湖北省黄梅国际育才高级中学 2018-2019 学年高一数学 3 月月考试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知点 在第三象限，则角 的终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】 B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题由题意，推导出 ，确定 的象限，然后取得结果 【解答】解： 在第三象限，由 ，得 在第二、四象限，由 ，得 在第二、三象限在第二象限故选 B2. 若 是 的一个内角，且 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函
2、数在各个象限中的符号，把 换成是解题的关键- 2 -先由条件判断 ， ，得到 ，把已知条件代入运算，可得答案 【解答】解： 是 的一个内角，且 ， ， ， 故选 D3. 下列各式中，值为 的是 A. B. C. D. 【答案】 C【解析】解：由于 ，故排除 A由于 ，故排除 B由于 ，满足条件由于 ，故排除 D，故选： C由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论本题主要二倍角公式、两角和的差三角公式，属于基础题4. 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 已知 ， ， ，则 - 3 -A. B. C. 2 D. 3【答案】 D【解析】解： ， ，
3、 ，由余弦定理可得： ，整理可得： ，解得： 或 舍去 故选： D由余弦定理可得 ，利用已知整理可得 ，从而解得 b 的值本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5. 已知 ， 为锐角，且 ， ，则 的值是 A. B. C. D. 【答案】 B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，推理能力，是基础题由题意求出 ， ，然后求出 ，求 的值，确定 的值【解答】解：由 ， 为锐角，且 ， ，可得 ， ，且 ，故故选 B6. 在 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 ， ，则
4、 的面积是 - 4 -A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查余弦定理与三角形面积公式的应用，是基础题将“ ”展开，另一方面，由余弦定理得到 ，比较两式，得到 ab 的值，计算其面积【解答】解：由题意得， ，又由余弦定理可知， ，即 故选 C7. 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：，- 5 -，由正弦定理可得 ， ，故选 B8. 在 中，角 A、 B、 C 所对的
5、边分别为 a、 b、 c，且 若 ，则 的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】 C【解析】【分析】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用余弦定理可得 ，可得 由 ，利正弦定理可得：，代入 ，可得 【解答】解：在 中， ， ， ，- 6 -代入 ， ，解得 的形状是等边三角形，故选 C9. 满足条件 ， ， 的 的个数是 A. 1 B. 2 C. 无数个 D. 不存在【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于基础题由已知，利用正弦定理可求
6、 ，从而可得满足此条件的三角形不存在【解答】解： ， ， ，由正弦定理可得： ，不成立故选 D10. 在 中， ， ， ，则 的值等于 A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】本题的考点是正余弦定理，主要考查正余弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正余弦定理求解先利用面积公式求得 c 的值，进而利用余弦定理可求 a，再利用正弦定理求解比值【解答】解： ， ， ，- 7 -，故选 A11. 如图，一栋建筑物 AB 的高为 ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD，在它们之间的地面点 M， D 三点共线 处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 和 ，在楼顶 A 处测得塔顶
7、C 的仰角为 ，则通信塔 CD 的高为 A. 30mB. 60mC. D. 【答案】 B【解析】【分析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题设 ，垂足为 E，在 中，利用正弦定理，求出 AC，即可得出结论【解答】解：设 ，垂足为 E，则在 中， ， ， ，- 8 -故选： B12. 已知锐角三角形三边分别为 3，4， a，则 a 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】分两种情况来考虑，当 a 为最大边时，只要保证 a 所对的角为锐角就可以了；当 a 不是最大边时，则 4 为最大边，同理只要保证 4 所对的角为锐
8、角就可以了 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有余弦定理，三角形的边角关系，以及一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的数学思想，即 a 为最大边，三角形为锐角三角形，故 a 所对的角为锐角，； a 不为最大边，4 就为最大边，三角形为锐角三角形，故 4 所对的角为锐角，然后利用余弦定理列出不等式来解决问题【解答】解：分两种情况来考虑：当 a 为最大边时，设 a 所对的角为 ，由 锐角，根据余弦定理可得： ，可知只要 即可，可解得： ；当 a 不是最大边时，则 4 为最大边，同理只要保证 4 所对的角为锐角就可以了，则有 ，可解得： ，所以综上可知 x 的取值范围为 故选 C二、填空题（本大
9、题共 4 小题，共 20.0 分）13. 化简 的结果是_【答案】1【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式，把要求的式子化为，从而求得结果- 9 -【解答】解： ，故答案为 114. 在 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 ， ，则_【答案】【解析】解：将 利用正弦定理化简得： ，代入得 ，即 ，由余弦定理得： ，为三角形的内角，故答案为：已知 利用正弦定理化简，代入第一个等式用 b 表示出 a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的 c 与 a 代入求出 的值，即可确定出 A
10、的度数此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键15. 已知函数 的最大值为 1，最小值为 ，则函数 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】本题考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，求出 a， b 是关键【解答】解：函数 的最大值为 1，最小值为 ，- 10 -当 时， ， ，解得 ， ，所以 最大值为 ；当 时， ， ，解得 ， ，所以 最大值为 ，故答案为 516. 如图， A， B， C， D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若， ， ， ， ，则四边形 ABCD 面积是_ 【答案】【解析】【分析】本题考查余弦定理及面积公式，连结 BD，根据余弦定理列
11、出方程解出 或 ，进而给出 ， ，代入面积公式即可【解答】解： 连接 BD，在 中， ，在 中， ，- 11 -四边形 ABCD 的面积故答案为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 已知 求 的值； 化简并求 的值【答案】解： 因为 ，即 ，解得： ； 【解析】本题主要考查了同角三角函数的关系式以及三角函数函数化简求值，属于基础题 通分化简即可求 的值； 根据诱导公式化简然后利用同角三角函数的关系式转化为 即可求值18. 已知 ， 为锐角， ， ，求 的大小；【答案】解 ， 为锐角，且 ， ， - 12 -， 又 为锐角， 【解析】由 ，得 ，根据 利用两角差的余弦公式求
12、解；19. 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 求 ；若 ， 的面积为 2，求 b【答案】解： ，；由 可知 ，- 13 -，【解析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；由 可知 ，利用面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b20. 已知 当 时，求 的值域；若函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 ，求函数 的单调递增区间【答案】解：由 ，得 ，所以 ，即 在 上的值域是 函数 f x 的图象向右平移 8 个单位后，所
13、得 图象，则 ，- 14 -当 即 时，单调递增，所以 单调递增区间为 21. 设 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 设 S 为 的面积，满足 求 B； 若 ，求 的最大值【答案】解： ， 即 ，变形得： ，整理得： ，又 ， ，由正弦定理知 ，当且仅当 时取最大值，故 的最大值为 【解析】本题考查三角形面积公式正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题- 15 - 利用三角形的面积公式表示出 S，利用余弦定理表示出 ，代入已知等式求出 的值，即可求出 B， 先求出 A 的范围，再根据正弦定理表示出 a， c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和
14、性质即可求出最大值22. 已知向量 ， ，且 求 及 的值；若 的最小值是 ，求实数 的值【答案】解： 由题意可得 ， ， 由 得 ，再结合 可得，当 时，则 时， 取得最小值为 ，这与已知矛盾当 时，则 时， 取得最小值为 当 时，则 时， 取得最小值为 由已知得 ， ，这与 相矛盾综上所述， 为所求【解析】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题由题意利用两个向量的数量积公式求得 ，再根据 的坐标，求得 的值由 得 ，再结合 可得，分类讨论，利用二次函数的性质，- 16 -根据 的最小值是 ，分别求得实数 的值，综合可得结论
