1、- 1 -南康中学 20182019 学年度第一学期高三第五次大考数学（文科）试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 2 40,0,1xMxNZ-=-=+ ，则 MN的所有子集个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合 A,B,再根据交集定义求交集，最后根据求子集个数.【详解】因为 ()2 40,12, 0,1x4,0,12341xMxNZZ-=-=-+=-.- 5 -所以 221015logle.故 abc.选 A.8.已知圆 ()2:0Mxya+-
2、=截直线 0xy+=所得线段的长度是 2，则圆 M与圆 ()11N-的位置关系是（ ）A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B【解析】化简圆 ()()22 1: 0,MxyaMar+-=到直线 0xy+=的距离 2ad 221,2a，又 ()2121,NrNrN=-时, ()lnsifx=+ ,可得： 1()cosfxx=+ ,令 1cos0x=，作出 1y 与 co- 图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，()lfp故选：D.10.已知不等式 2111log()234()an+- 对一切正整数 n恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）A. (0,3) B. (
3、1,) C. (,) D. (,3)-【答案】B【解析】【分析】先利用裂项求和法求得不等式左边各项的和，然后求得左边式子的取值范围，再根据恒成立问题列不等式，解不等式可求得 a的取值范围.【详解】不等式左边 11123nn=-+-=-+ ， -+是一个单调递增的数列，故当 n时取得最小值为 2-.故 ()2loga的左、右焦点分别为 1F、 2， O为坐标原点，以 12F为直径的圆 O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、 Q，点 B为圆 与y轴正半轴的交点，若 2PFQB，则双曲线 C的离心率为（ ）A. 35+ B. 35 C. 15+ D. 152【答案】D【解析】画出图形如图所
4、示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 byxa=，以 12F为直径的圆 O的方程为 22xyc+= 由 22byxac=+，解得 xayb=，故点 P 的坐标为 (,)ab；由 221bxyc-=，解得2xcy+，故点 Q 的坐标为2(,)cb+ 2POFQB， sinsi，2bac+=，整理得 2bac=， 2-，故得 210e-，- 8 -解得 152e+=选 D点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于 ,abc等式或不等式，再由22cab=+及 ce可得到关于 e的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围） 解题时要注意平面几何知识的运用，如何
5、把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键 12.已知函数24()xf+=-，132()xg-=，实数 a， b满足 0+=，则 195xy+-的最小值为_【答案】 83【解析】【分析】将 23xy+=转化为 ()1516xy-+=，用这个“1”去乘求最小值的式子，化简后利用基本不等式来求得最小值.【详解】由 xy得 xy-，故 ()19565xyxy-+-()91506+=-91580263+=-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.给出下列 4个结论：棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥；函数 29xy+-=既不是奇函数又不是偶函数；
6、- 11 -若函数 ()2lg54fxax=+的值域为 R，则实数 a的取值范围是 250,16； 若函数 f满足条件 (1ffx-=,则 ()f的最小值为 4其中正确的结论的序号是：_. (写出所有正确结论的序号)【答案】,【解析】【分析】对所给的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论的序号【详解】对于，由平面几何知识可得，正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，此时中心与各顶点构成平面图形，所以棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥所以正确对于，由 290x-=-A，解得 2516综上可得实数 a的取值范围是25,16，所以正确对于，以 x代替 ()1 4ffx-=中的 可得 ()114ffx-
7、=，由()14ffffx-=消去 fx整理得 ()15fxx-+，所以()1414255f x=+=A，当且仅当 4x=，即 2时等号成立所以正确- 12 -综上可得正确结论的序号为故答案为【点睛】解答本题时要结合相关的知识对每个结论进行分析、判断，考查对数所学知识的掌握情况和判断能力，同时判断时还要注意对问题中的一些特殊情况的处理，选择合适的方法进行求解，如通过反例等方法进行判断等三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ,abc且满足 (2)cosaBbC-=，222sinisinisnl
8、=+-. (1) 求角 B 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求实数 l的取值范围.【答案】 （1） 3p=；（2） (3,2)(1,0-。【解析】试题分析：1）因为 ()cos,aBbC-=由正弦定理得：(2sin)sin,AC-。所以 cocsicsin()siBA+=。 。 。 。 。 。 。3 分因为 si0，所以 12B=-4 分因为 (,)Bp，所以 3-5 分2） （因为 222sinisinisnACl+-，由正弦定理得：2abcl=+-，所以 bcal=由余弦定理得： osl-8 分因为 3Bp，且三角形为钝角三角形，所以 2(0,),)63Ap所以 1cos(,)(,0
9、)2A-，所以 3,l-10 分- 13 -考点：本题主要考查三角形内角和定理，两角和的三角函数，正弦定理，余弦定理。点评：典型题，本题较全面地考查三角知识内容。研究三角形问题，要注意挖掘运用三角形中的“隐含条件” 。 （2）中由“ ABCD为钝角三角形，求实数 l的取值范围”易错。18.在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC， E 是 BC 的中点，求证：（）平面 AB1E平面 B1BCC1；（） A1C/平面 AB1E【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得 AE平面 BC，可得 1AE，再根据等腰三角形性质可得 AEBC，从而可得 平面
10、1，进而得出结果；（2）连接 1B，设 1BF=，连接 ， 由平行四边形的性质结合中位线定理可得 1/FC.根据线面平行的判定定理可得结果.试题解析：证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1 平面 ABC因为 AE 平面 ABC，所以 CC1 AE 因为 AB AC， E 为 BC 的中点，所以 AE BC 因为 BC 平面 B1BCC1， CC1 平面 B1BCC1，且 BC CC1 C，所以 AE 平面 B1BCC1 - 14 -因为 AE 平面 AB1E，所以平面 AB1E 平面 B1BCC1. （2）连接 A1B，设 A1B AB1 F，连接 EF在直三棱柱 ABC A
11、1B1C1中，四边形 AA1B1B 为平行四边形，所以 F 为 A1B 的中点 又因为 E 是 BC 的中点，所以 EF A1C 因为 EF 平面 AB1E， A1C 平面 AB1E，所以 A1C平面 AB1E.19.已知椭圆 G的中心在原点，焦点在 x轴，离心率为 2，且长轴长是短轴长的 2倍.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设 (,0)P过椭圆 左焦点 F的直线 l交 G于 A， B两点，若对满足条件的任意直线 l，不等式 ABl()R恒成立，求 l的最小值.【答案】 （1）21xy+=（2） 7【解析】试题分析：（1）采用待定系数法，根据条件所给的几何关系列式，再结合 22abc=+ ，
12、解出 2,ab ；（2）首先分两种情况，当直线与 x轴垂直的时候，可得出 ,AB两点的坐标，从而计算可得 PAB的值，当直线与 轴不垂直的时候，设直线 ()1ykx与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，带入 P的坐标关系,得到函数的最大值，比较两种情况下的最大值， ()maxl，从而得出 l的最小值.试题解析：（1）依题意， 22bca=+，解得 2a=， 21b， 椭圆 G的标准方程为21xy=.- 15 -（2）设 ()1,Axy， 2,BxyP=()()121212xy-=-+，当直线 l垂直于 x轴时， ， y且 ，此时 ()13,Ay-， 213,PB-， (2173PABy=-.当直
13、线 l不垂直于 x轴时，设直线 l： ()ykx=+，由 2ykx=+，得 22140kx-，2124k-，21k-=+，PAB=()()21212124xxx+()2kk+-2212241k+27k+=()237-要使不等式 PABl R恒成立，只需 max172l=，即 l的最小值为 172.【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以
14、及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路.20.已知数列 na前 项和为 nS， 1a=， 1nS+-，在数列 nb中， 1=且13nb+=。（1）求数列 n， b的通项公式；- 16 -（2）求数列 nab前 2项中所有奇数项的和 nT【答案】 （1） 1n-=，312-n为 奇 为为 偶 为；（2） (1)4nn=-+。【解析】【分析】（1）由 1nSa+=-，可得 12nSa+=-两式相减得 21na+=， na是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列，从而可得 的通项公式； 13b ， ()3b-+=-（）两式相减得 13nb+-（ ） ，分奇偶讨论可得 n的通项公式；（2）令nnca
15、=，由（1）可得 c前 2项中所有奇数项和()02427nT-，利用错位相减法可得结果.【详解】 （1） 1nSa+=-， 12nSa+=两式相减得 21na+=，又 a， 2， 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 1n-， 13nb+= , ()13nb-+=-（ n）两式相减得 n-（ 2） ，又 2143b-=由此可得 21-是首项为 1，公差为 3 的等差数列， 2n-2nb是首项为 3，公差为 3 的等差数列， 2n所以 2n-=为 奇 为为 偶 为（2）令 nncab， c前 2项中所有奇数项和为 nT则 ()0242173Tn-=+ ()246 2453nn - 17 -()
16、242313nnnT-=-+(1nn - ()14T=-+【点睛】本题主要等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 1q-.21.已知 ABCD是矩形， P平面 ABCD， ,2PaAD=， MN、 分别是P、的中点（1）求证：平面 MNC平面 PB；（2）求点 A到平面 的距离【答案】 （
17、1）详见解析（2） 2a【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用线面垂直进行证明，而线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用勾股数，直接计算得 PMB=，结合等腰三角形性质得 MNPB；由线面垂直 PD平面 ABC得线线垂直 D，再转化到线面垂直 平面 C，从而得面面垂直（2）求点 到平面 N的距离，实质研究平面 C的垂线，由（1）得B平面 MN，所以 EF平面 ，其中 E,F 为 、 N中点，因此点 A到平面C的距离等于 ，然后在三角形求解 EF即可试题解析：解：（1）连 PB、 ， D平面 AB，- 1
18、8 - PDM 223a=+，又 223BMAa=+， B，又 N， P ,PC， Ca，得 ， 平面 ， 平面 ，平面 MN平面 PB（2）取 BC中点 E，连 A，则 /EMC， /A平面 NC，从而 点与 点到平面 N的距离相等取 N中点 F，连 ，则 F平行且等于 12B， 平面 ， 平面 ，则 E的长为 点到平面 C的距离 PD平面 AB， D， C 21,242aaEFBNP=+=，即点 A到平面 MN的距离为 考点：线面垂直判定与性质定理，点到平面距离【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，
19、需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22.已知函数 21()lnfxmx=+. （1）讨论函数 的单调性； - 19 -（2）当 m=1 时，若方程 21()fxax=+在区间 1,)e上有唯一的实数解，求实数 a 的取值范围； （3）当 m0 时，若对于区间1，2上的任意两个实数 x1，x 2，且 x1x 2，都有211()fxfx-成立，求实数 m 的最大值【答案】 （1）见解析；（2） 1ea-；（3） 2【解析】【分析】（1）求得函数定义域后对函数求导，对 m分成 0,两类，讨论函数的单调区间.（2）化简 ()21fxax=+，分离出常数 ln1xa=+.利
20、用导数求得函数 ln1x+的单调区间，由此求得 的取值范围.（3）由（1）知函数 ()f在 ,2上递增.由此去掉绝对值化简题目所给不等式，构造函数 ()2Fxfx-，利用 Fx在 上递减，导数小于零，分离出常数 m，再利用导数求得 m的最大值.【详解】 （1）f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）=x+m+ = ， m0 时，f（x）0， 故 m0 时，f（x）在（0，+）递增； m0 时，方程 x2+mx+m=0 的判别式为： =m 2-4m0， 令 f（x）0，解得：x ， 令 f（x）0，解得：0x ， 故 m0 时，f（x）在（ ，+）递增，在（0， ）递减； （2）m=1 时，由
21、题意得： x2+x+lnx= x2+ax， 整理得：a=1+ ， 令 g（x）=1+ ，g（x）= ， 令 g（x）0，解得：x（0，e） ，函数 g（x）在（0，e）递增， 令 g（x）0，解得：x（e，+） ，函数 g（x）在（e，+）递减； 若方程 f（x）= x2+ax 在e，+）上有唯一实数根， 须求 g（x）在e，+）上的取值范围， - 20 -g（x）g（e）=1+ ，又 g（x）=1+ 1， （xe） ， a 的范围是 g（ ）a1， 即 1-ea1； （3）由（1）知，当 m0 时，函数 f（x）在（0，+）递增， 又1，2（0，+） ，故 f（x）在1，2递增； 对任意 x1x 2，都有 f（x 1）f（x 2） ， 故 f（x 2）-f（x 1）0， 由题意得：f（x 2）-f（x 1） - ， 整理得：f（x 2）- f（x 1）- ， 令 F（x）=f（x）-x 2=- x2+mx+mlnx， 则 F（x）在1，2递减， 故 F（x）=， 当 x1，2时，-x 2+mx+m0 恒成立，即 m ， 令 h（x）= ，则 h（x）= 0， 故 h（x）在1，2递增， 故 h（x） ， ， 故 m 实数 m的最大值为 12.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解不等式恒成立问题，难度较大，属于中档题.- 21 -
