1、1第 5 讲 椭圆考纲解读 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容预测 2020 年将会考查：椭圆标准方程的求解；直线与椭圆位置关系的应用；求解与椭圆性质相关的问题试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点 F1， F2的距离的 和等于 常数(大于| F1F2|)的点的轨迹01 02 (或集合)叫椭圆这两
2、定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 焦距03 (2)集合语言： P M|MF1| MF2| ，且 2a |F1F2|，| F1F2|2 c，其中04 2a 05 ac0，且 a， c 为常数注：当 2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a| F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a0直线与椭圆 相交；01 (2) 0直线与椭圆 相切；02 (3) b0)上任意一点 P(x， y)，则当 x0 时，| OP|有最小值 b， Px2a2 y2b2点在短轴端点处；当 x a 时，| OP|有最大值 a， P 点在长轴端点处(2)已知过焦点 F1的弦 AB，则 ABF2的周长为 4a.1概念辨
3、析(1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)方程 mx2 ny21( m0， n0 且 m n)表示的曲线是椭圆( )(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a2 c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)( )(4) 1( ab0)与 1( ab0)的焦距相同( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B133 53C D23 59答案 B解析 由已知得 a3， b2，所以 c ，离心率 e .a2 b2 32
4、22 5ca 53(2)直线 y x2 与椭圆 1 有两个公共点，则 m 的取值范围是( )x2m y23A(1，) B(1,3)(3，)C(3，) D(0,3)(3，)答案 B解析 把 y x2 代入 1 得 3x2 m(x2) 23 m，整理得(3 m)x2m y23x24 mx m0，由题意得 (4 m)24 m(3 m)12 m(m1)0 且 3 m0，又因为 m0 且 m3，所以 m1 且 m3，所以 m 的取值范围是(1,3)(3，)(3)(2015全国卷)一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴x216 y24上，则该圆的标准方程为_答案 2 y2(x32) 25
5、4解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，2)，设圆心为( a,0)，其4中 a0，由 4 a ，解得 a ，所以该圆的标准方程为 2 y2 .a2 432 (x 32) 254(4)已知动点 P(x， y)的坐标满足 16，则动点 P 的x2 y 7 2 x2 y 7 2轨迹方程为_答案 1x264 y215解析 由已知得点 P 到点 A(0，7)和 B(0,7)的距离之和为 16，且 16|AB|，所以点P 的轨迹是以 A(0，7)， B(0,7)为焦点，长轴长为 16 的椭圆显然 a8， c7，故 b2 a2 c215，所以动点 P 的轨迹方程为 1.x264 y
6、215题型 椭圆的定义及应用一1过椭圆 y21 的左焦点 F1作直线 l 交椭圆于 A， B 两点， F2是椭圆右焦点，则x24 ABF2的周长为( )A8 B4 2C4 D2 2答案 A解析 因为椭圆为 y21，所以椭圆的半长轴 a2，由椭圆的定义可得x24AF1 AF22 a4，且 BF1 BF22 a4， ABF2的周长为 AB AF2 BF2( AF1 AF2)( BF1 BF2)4 a8.2在平面直角坐标系 xOy 中， P 是椭圆 1 上的一个动点，点 A(1,1)，y24 x23B(0，1)，则| PA| PB|的最大值为( )A5 B4C3 D2答案 A5解析 如图，椭圆 1，
7、焦点坐标为 B(0，1)和 B(0,1)，连接y24 x23PB， AB，根据椭圆的定义，得| PB| PB|2 a4，可得| PB|4| PB|，因此|PA| PB| PA|(4| PB|)4(| PA| PB|)| PA| PB| AB|，| PA| PB|4| AB|415.当且仅当点 P 在 AB的延长线上时，等号成立综上所述，可得| PA| PB|的最大值为 5.3已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且x2a2 y2b2 F1PF260， S PF1F23 ，则 b_.3答案 3解析 设| PF1| t1，| PF2| t2，则由椭圆
8、的定义可得 t1 t22 a，在 F1PF2中 F1PF260，所以 t t 2 t1t2cos604 c2，21 2由 2得 3t1t24 a24 c24 b2，所以 S F1PF2 t1t2sin60 b2 3 ，所以 b3.12 12 43 32 3利用定义求焦点三角形及最值的方法1设椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过焦点 F1的直线交椭圆于 A(x1， y1)，x29 y25B(x2， y2)两点，若 ABF2的内切圆的面积为 ，则| y1 y2|( )6A3 B6C9 D12答案 A解析 画出图形如图所示椭圆方程为 1，x29 y25 a3， b ， c2.5又 ABF2
9、的内切圆的面积为 ， ABF2内切圆的半径 r1， S ABF2 (|AB| BF2| AF2|)r12 4ar2 ar6，12又 S ABF2 |y1 y2|2c2| y1 y2|，122| y1 y2|6，| y1 y2|3.2(2018安徽皖江模拟)已知 F1， F2是长轴长为 4 的椭圆 C： 1( ab0)的左、x2a2 y2b2右焦点， P 是椭圆上一点，则 PF1F2面积的最大值为_答案 2解析 解法一： PF1F2的面积为 |PF1|PF2|sin F1PF2 2 a2.12 12(|PF1| |PF2|2 ) 12又2 a4， a24， PF1F2面积的最大值为 2.解法二：
10、由题意可知 2a4，解得 a2.当 P 点到 F1F2距离最大时， S PF1F2 最大，此时 P 为短轴端点，S PF1F2 2cb bc.12又 a2 b2 c24， bc 2，b2 c22当 b c 时， PF1F2面积最大，为 2.2题型 椭圆的标准方程及应用二71 “2|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A， F 为焦点的椭圆， a1， c ， b2 .所以动12 34点 P 的轨迹方程为 x2 y21.431定义法求椭圆的标准方程8根据椭圆的定义确定 a2， b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：(1)b2 a2 c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于
11、 2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.2待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为 1( m0， n0， m n)，也可设为x2m y2nAx2 By21( A0， B0，且 A B)可简记为“先定型，再定量” 1与圆 C1：( x3) 2 y21 外切，且与圆 C2：( x3) 2 y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_答案 1x225 y216解析 设动圆的半径为 r，圆心为 P(x， y)，则有| PC1| r1，| PC2|9 r.所以| PC1| PC2|10| C1C2|，所以点 P 的轨迹是以 C1(3,0)， C2(3
12、,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆，点 P 的轨迹方程为 1.x225 y2162已知中心在坐标原点的椭圆过点 A(3,0)，且离心率 e ，则椭圆的标准方程为53_答案 1 或 1x29 y24 y2814 x29解析 若焦点在 x 轴上，由题知 a3，因为椭圆的离心率 e ， c ， b2，所以53 5椭圆方程是 1.若焦点在 y 轴上，则 b3， a2 c29，又离心率 e ，解得x29 y24 ca 539a2 ，所以椭圆方程是 1.814 y2814 x29题型 椭圆的几何性质三1已知椭圆 C1： 1， C2： 1，则( )x212 y24 x216 y28A C1与 C2顶点相同
13、 B C1与 C2长轴长相同C C1与 C2短轴长相同 D C1与 C2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知： C1的顶点坐标为(2 ，0)，(0，2)，长轴长3为 4 ，短轴长为 4，焦距为 4 ； C2的顶点坐标为(4,0) ，(0，2 )，长轴长为 8，3 2 2短轴长为 4 ，焦距为 4 .故选 D.2 22(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点， A 是 Cx2a2 y2b2的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则36C 的离心率为( )A. B23 12C D13 14答案 D解
14、析 依题意易知| PF2| F1F2|2 c，且 P 在第一象限内，由 F1F2P120可得 P点的坐标为(2 c， c)3又因为 kAP ，即 ，所以 a4 c， e ，故选 D.36 3c2c a 36 14条件探究 将举例说明 2 中点 P 满足的条件改为“椭圆 C 上存在点 P，使 F1PF290” ，求 C 的离心率的取值范围解 解法一：椭圆上存在点 P 使 F1PF290以原点 O 为圆心，以 c 为半径的圆与10椭圆有公共点 b c，如图，由 b c，得 a2 c2 c2，即 a22 c2，解得 e ，又ca 220b0)的左焦点， A 为右顶点， P 是椭圆上的一点，x2a2
15、y2b2PF x 轴，若| PF| |AF|，则该椭圆的离心率是_34答案 14解析 根据椭圆几何性质可知| PF| ，| AF| a c，所以 (a c)，即b2a b2a 344b23 a23 ac.又因为 b2 a2 c2，所以有 4(a2 c2)3 a23 ac，整理可得4c23 ac a20，两边同除以 a2，得 4e23 e10，所以(4 e1)( e1)0，由于0b0)的右焦点为 F，过点 F 的x2a2 y2b2直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60， 2 .则椭圆 C 的离心率AF FB 是_答案 23解析 设 A(x1， y1)， B(x2
16、， y2)，由题意知 y10.直线 l 的方程为 y (x c)，其中 c .3 a2 b2联立Error!得(3 a2 b2)y22 b2cy3 b40.3解得 y1 ， y2 . 3b2 c 2a3a2 b2 3b2 c 2a3a2 b2因为 2 ，所以 y12 y2.AF FB 即 2 .3b2 c 2a3a2 b2 3b2 c 2a3a2 b2得离心率 e .ca 23角度 2 弦长及弦中点问题2(1)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A， B 两点，则| AB|的最大值为( )x24A2 B455C D4105 810512(2)直线 y x m 被椭圆 2x2 y22
17、 截得的线段的中点的横坐标为 ，则中点的纵坐标16为_答案 (1)C (2)13解析 (1)设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t，由Error!消去 y，得 5x28 tx4( t21)0，则 x1 x2 t， x1x2 .85 4 t2 15 (8 t)2454( t21)0，得 t21 B m0C00 且 m5，综上知 m 的取值范围是 m11m x25 y2m且 m5.4(2018全国卷)设椭圆 C： y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A， B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x
18、 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB.解 (1)由已知得 F(1,0)，直线 l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .(1，22) (1， 22)所以直线 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)证明：当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB0.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k(x1)( k0)， A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 x10， n0， m n)的两个交点坐标分别为E(x1， y1
19、)， F(x2， y2)(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程(3)利用根与系数的关系，得到 x1 x2与 x1x2或 y1y2与 y1 y2.(4)把与 E， F 有关要求的量(如弦长| EF|、直线与椭圆相关的图形面积等)用 E， F 的坐标表示出来，并变形为只含 x1 x2与 x1x2(或 y1 y2与 y1y2)的形式(5)将(3)中所得的含有参数的式子等量代入(4)中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果4重要结论(1)椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为 .2b2a(2)设斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点， A(x1， y
20、1)， B(x2， y2)，则|AB| |x1 x2| 或 |AB| |y1 y2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x21 1k2 . 1 1k2 y1 y2 2 4y1y21已知椭圆 4x2 y21 及直线 y x m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解 (1)由Error!得 5x22 mx m210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4 m220( m21)0，解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，由(1)知，5 x22 mx m210，所以 x1 x2 ， x1x2
21、 (m21)，2m5 15所以| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 4x1x224m225 45 m2 1 .25 10 8m2所以当 m0 时，| AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为 y x.2(2018沈阳质检)已知 P 点坐标为(0，2)，点 A， B 分别为椭圆E： 1( ab0)的左、右顶点，直线 BP 交 E 于点 Q， ABP 是等腰直角三角形，且x2a2 y2b2 .PQ 32QB 15(1)求椭圆 E 的方程；(2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M， N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时
22、，求直线 l 斜率的取值范围解 (1)由 ABP 是等腰直角三角形，得 a2， B(2,0)设 Q(x0， y0)，则由 ，得Error!PQ 32QB 代入椭圆方程得 b21，所以椭圆 E 的方程为 y21.x24(2)依题意得，直线 l 的斜率存在，方程设为 y kx2.联立Error!消去 y 并整理得(14 k2)x216 kx120.(*)因直线 l 与 E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故 (16 k)248(14 k2)0，解得 k2 .34设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由根与系数的关系得Error!因坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外，所以 0，
23、即 x1x2 y1y20，OM ON 又由 x1x2 y1y2 x1x2( kx12)( kx22)(1 k2)x1x22 k(x1 x2)4(1 k2) 2 k 40，121 4k2 16k1 4k2解得 k2b0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， Ax2a2 y2b2是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )16A. B24 12C D22 32答案 C解析 由题意可设 P( c， y0)(c 为半焦距)， kOP ， kAB ，由于y0c baOP AB， ， y0 ，把 P 代入椭圆方
24、程得 1，即y0c ba bca ( c， bca) c 2a2 (bca)2b22 ， e .(ca) 12 ca 22典例 2 (2018芜湖模拟)已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(c,0)圆x2a2 y2b2C：( x c)2 y21 上所有点都在椭圆 E 的内部，过椭圆上任一点 M 作圆 C 的两条切线，A， B 为切点，若 AMB ， ，则椭圆 C 的离心率为( ) 3， 2A2 B322 2C. D 132 2 2答案 B解析 圆 C：( x c)2 y21 的圆心为右焦点 F(c,0)，半径为 1，(1)当 M 位于椭圆的右顶点( a,0)时，| MF|取得最小值 a c，此时| MA|取得最小值，即有 AMB ，sin ，可得 a c ， 2 4 1a c 2(2)当 M 位于椭圆的左顶点( a,0)，| MF|取得最大值 a c.此时| MA|取得最大值，即有 AMB ， 3sin ，可得 a c2， 6 1a c由解得 a1 ， c1 ，22 22则 e 32 .ca 2 22 2 217
