1、1第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系(重点)2.能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容预测 2020 年高考将会考查：直线与圆位置关系的判断及应用；直线与圆相交时弦长问题；利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型此外也不要忽略在解答题中出现的可能性.1直线与圆的位置关系设直线 l： Ax By C0( A2 B20)，圆：
2、( x a)2( y b)2 r2(r0)，d 为圆心( a， b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 .2圆与圆的位置关系设圆 O1：( x a1)2( y b1)2 r (r10)，21圆 O2：( x a2)2( y b2)2 r (r20)223必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形(1)两圆相交时公共弦的方程设圆 C1： x2 y2 D1x E1y F10，圆 C2： x2 y2 D2x E2y F20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：( D1 D2)x( E1 E
3、2)y( F1 F2)0.(2)两个圆系方程过直线 Ax By C0 与圆 x2 y2 Dx Ey F0 交点的圆系方程：x2 y2 Dx Ey F (Ax By C)0( R)；过圆 C1： x2 y2 D1x E1y F10 和圆 C2： x2 y2 D2x E2y F20 交点的圆系方程： x2 y2 D1x E1y F1 (x2 y2 D2x E2y F2)0( 1)(其中不含圆 C2，因此注意检验 C2是否满足题意，以防丢解)(3)弦长公式|AB| |xA xB|1 k2 . 1 k2 xA xB 2 4xAxB1概念辨析(1)“k2”是“直线 x y k0 与圆 x2 y22 相切
4、”的必要不充分条件( )(2)过圆 O： x2 y2 r2上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x y0y r2.( )3(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)直线 x y10 与圆 x2 y21 的位置关系为( )A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离答案 B解析 圆心(0,0)到直线 x y10 的距离 d ，而 00.所以直线 kx y2 k0 与圆 x2 y22 x80 相交2若直线 l： x y m0 与圆
5、 C： x2 y24 x2 y10 恒有公共点，则 m 的取值范围是( )A ， B2 ，2 2 2 2 2C 1， 1 D2 1,2 12 2 2 2答案 D解析 解法一：由Error!消去 y 整理得2x2(2 m6) x m22 m10.由 (2 m6) 242( m22 m1)4( m22 m7)0，解得2 1 m2 1.2 2解法二：圆 C 的标准方程为( x2) 2( y1) 24.圆心坐标为(2,1)，半径 r2.由题意得圆心到直线 x y m0 的距离d 2，解得2 1 m2 1.|2 1 m|12 1 2 2 23圆( x3) 2( y3) 29 上到直线 3x4 y110
6、的距离等于 2 的点有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 B解析 圆( x3) 2( y3) 29 的圆心为(3,3)，半径为 3，圆心到直线3x4 y110 的距离 d 2，圆上到直线 3x4 y110 的距|33 43 11|32 42离为 2 的点有 2 个故选 B.5判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用 d 与 r 的关系(2)代数法：联立方程之后利用 判断见举例说明(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交如举例说明 1 解法一上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 1已知 ABC 的三边长为 a， b，
7、 c，满足直线 ax by2 c0 与圆 x2 y24 相离，则 ABC 是( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上情况都有可能答案 C解析 直线 ax by2 c0 与圆 x2 y24 相离，圆心到直线的距离 2，2ca2 b2即 c2a2 b2.故 ABC 是钝角三角形故选 C.2直线 y x m 与圆 x2 y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范33围是( )A( ，2) B( ，3)3 3C. D(33， 233) (1， 233)答案 D解析 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d 1，解得
8、m (切点在第一象限)，所以要使|m|1 (33)2 233直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 13， a b 2 2 2 2所以( a b)29，即 a b3 或 a b1，所以直线 x y10 与圆|a b 1|2(x a)2( y b)21 相离判断圆与圆的位置关系的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 r2，| r1 r2|.(3)比较 d， r1 r2，| r1 r2|的大小，写出结论 1圆心为(2,0)的圆 C 与圆 x2 y24 x6 y40 相外切，则 C 的方程为( )A x2 y24 x20 B x2 y24 x
9、207C x2 y24 x0 D x2 y24 x0答案 D解析 圆 x2 y24 x6 y40 的圆心为 M(2,3)，半径 r3，| CM|5， 圆 C 的半径为 532，圆 C 的标准方程为( x2) 2 2 2 3 22 y24，即 x2 y24 x0.2若圆 x2 y24 与圆 x2 y22 ay60( a0)的公共弦长为 2 ，则 a_.3答案 1解析 两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为 y ，如图，由已知得1a|AC| ，| OA|2，| OC| 1， a1.31a题型 直线与圆的综合问题三角度 1 直线与圆的相切问题1已知圆 C：( x1) 2( y2) 210，求满足下
10、列条件的圆的切线方程：(1)与直线 l1： x y40 平行；(2)与直线 l2： x2 y40 垂直；(3)过切点 A(4，1)解 (1)设切线方程为 x y b0( b4)，则 ，|1 2 b|2 10 b12 ，切线方程为 x y12 0.5 5(2)设切线方程为 2x y m0，则 ，|2 2 m|5 10 m5 ，切线方程为 2x y5 0.2 2(3) kAC ， 2 11 4 13过切点 A(4，1)的切线斜率为3，过切点 A(4，1)的切线方程为 y13( x4)，即 3x y110.8角度 2 与圆有关的弦长问题2(2016全国卷)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x
11、2 y212 交于 A， B 两点，3过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若| AB|2 ，则| CD|_.3答案 4解析 由题意可知直线 l 过定点(3， )，该定点在圆 x2 y212 上，不妨设点3A(3， )，由于| AB|2 ， r2 ，所以圆心到直线 AB 的距离为 d 3 3 33，又由点到直线的距离公式可得 d ，所以 23 2 3 2|3m 3|m2 13，解得 m ，所以直线 l 的斜率 k m ，即直线 l 的倾斜角为 30.|3m 3|m2 1 33 33如图，过点 C 作 CH BD，垂足为 H，所以| CH|2 ，在 Rt CHD 中， H
12、CD30，所以3|CD| 4.23cos301求过圆上的一点( x0， y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y y0；若 k0，则结合图形可直接写出切线方程为 x x0；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜率为 ，由点斜式可写出切线方程1k2求过圆外一点( x0， y0)的圆的切线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0)，即kx y y0 kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0)，即
13、y kx kx0 y0，代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即可求出3求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，设弦心距为 d，圆 C 的半径为 r，则|AB|2 .r2 d29(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是 A(x1， y1)，B(x2， y2)则| AB| |x1 x2| x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 |y1 y2|(直线 l 的斜率 k 存在) 1 1k21若直线 y kx1 与圆 x2 y21 相交于 P， Q 两点，且 POQ120(其中 O 为原点)，则 k
14、 的值为( )A 或 B3 3 3C 或 D2 2 2答案 A解析 由题意可得圆心 O 到直线 y kx1 的距离等于 ，所以 ，解得 k12 1k2 1 12.故选 A.32由直线 y x1 上的一点向圆 C： x26 x y280 引切线，则切线长的最小值为( )A1 B2 2C D37答案 C解析 解法一：切线长的最小值在直线 y x1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为 d 2 ，圆的半径长为 r1，故切线长的最小值为|3 0 1|2 2 .d2 r2 8 1 7解法二：易知 P(m， m1)在直线 y x1 上，由切线长公式得| PC| ，由 mR 可得 |PC
15、|min .m2 6m m 1 2 8 2 m 1 2 7 73已知在圆 M： x2 y24 x2 y0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和BD，则四边形 ABCD 的面积为( )A3 B65 5C4 D215 15答案 D解析 圆 x2 y24 x2 y0 可化为( x2) 2( y1) 25，圆心 M(2，1)，半径 r，最长弦为圆的直径， AC2 . BD 为最短弦， AC 与 BD 垂直，易求得5 5ME ， BD2 BE2 2 .2 5 2 3S 四边形 ABCD S ABD S BDC BDEA BDEC BD(EA EC) BDAC 2 212 12 12 12 12 3 2 .故选 D.5 1510
