1、1第 3 讲 圆的方程考纲解读 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程(重点)2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点预测 2020 年将会考查：求圆的方程；根据圆的方程求最值；与圆有关的轨迹问题试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1圆的定义及方程2点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0， y0)与圆 C：( x a)2( y b)2 r2之间存在着下列关系：设 d 为点 M(x0， y0)与圆心( a， b)的距离(1)drM 在圆外，即( x0 a
2、)2( y0 b)2r2M 在 圆外；01 (2)d rM 在圆上，即( x0 a)2( y0 b)2 r2M 在 圆上；02 (3)d0，解得m2 .2 2(2)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(1,2)， B(1,4)，则圆 C 的标准方程为_答案 x2( y3) 22解析 设圆心 C 的坐标为( a， b)，则 a 0， b 3，故圆心 C(0,3) 1 12 2 42半径 r |AB| .12 12 1 1 2 4 2 2 2所以圆 C 的标准方程为 x2( y3) 22.(3)若原点在圆( x2 m)2( y m)25 的内部，则实数 m 的取值范围是_答案 (1,1)解析 因为原
3、点在圆( x2 m)2( y m)25 的内部，所以(02 m)2(0 m)20)令 y0，得 x2 Dx F0，所以 x1 x2 D.令 x0，得 y2 Ey F0，所以 y1 y2 E.由题意知 D E2，即 D E20.又因为圆过点 A， B，所以 1644 D2 E F0.19 D3 E F0.解组成的方程组得 D2， E0， F12.故所求圆的方程为 x2 y22 x120.条件探究 1 把举例说明 1 三点坐标改为“(1,3)，(4,2)，(1，7)” ，求此圆的方程解 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则Error!解得 Error!圆的方程为 x2 y22 x4 y2
4、00.条件探究 2 把举例说明 2 条件“在两坐标轴上的四个截距的和为 2”改为“在 x 轴截得的弦长等于 2 ”，其他条件不变，求此圆的方程13解 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，令 y0 得 x2 Dx F0，设 x1， x2是方程的两个根，4则 x1 x2 D， x1x2 F.由| x1 x2|2 得 D24 F52，13又因为圆过(4,2)，(1,3)，所以Error!即Error!解组成的方程组得 D2， E0， F12 或 D54， E260， F716.故所求圆的方程为 x2 y22 x120 或 x2 y254 x260 y7160.求圆的
5、方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程见举例说明 1 解法二(2)待定系数法若已知条件与圆心( a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值见巩固迁移 1.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值见举例说明 2. 1圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )A x2 y210 y0 B x2 y210 y0C x2 y210 x0 D x2 y210
6、 x0答案 B解析 设该圆的方程为( x a)2( y b)2 r2(r0)由题意得Error!所以Error!解得 b5， r5，所以该圆的方程为 x2( y5) 225，即 x2 y210 y0.2圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 243B( x )2( y )242 2C x2( y2) 24D( x1) 2( y )243答案 D解析 设圆( x2) 2 y24 的圆心(2,0)关于直线 y x 对称的点的坐标为( a， b)，33则有Error! 解得 a1， b ，从而所求圆的方程为( x 1)2( y )24.故选 D
7、.3 3题型 与圆有关的最值问题二角度 1 建立函数关系求最值1(2018厦门模拟)设点 P(x， y)是圆： x2( y3) 21 上的动点，定点 A(2,0)，5B(2,0)，则 的最大值为_PA PB 答案 12解析 (2 x， y)， (2 x， y)，PA PB P(x， y)在圆上， x24 y26 y846 y12，PA PB 2 y4， 12.PA PB 角度 2 借助几何性质求最值(多维探究)2(2018抚顺模拟)已知实数 x， y 满足方程 x2 y24 x10，则 的最大值为yx_，最小值为_答案 3 3解析 原方程可化为( x2) 2 y23，表示以(2,0)为圆心，
8、为半径的圆3的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 k，即 y kx.yx yx如图所示，当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 ，|2k 0|k2 1 3解得 k .3所以 的最大值为 ，最小值为 .yx 3 3结论探究 1 若举例说明 2 中条件不变，求 y x 的最大值与最小值解 y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 y x b 与圆相6切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 ，解得 b2 .|2 0 b|2 3 6所以 y x 的最大值为2 ，最小值为2 .6 6结论探究 2 若举例说明 2 中条件不变，求 x2 y2
9、的最大值与最小值解 如图所示， x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2， 2 0 2 0 0 2所以 x2 y2的最大值是(2 )274 ， x2 y2的最小值是(2 )274 .3 3 3 3求解与圆有关的最值问题的方法(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题见举例说明 2.y bx a形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题见举
10、例说明 2 结论探究 1.形如( x a)2( y b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题见举例说明 2 结论探究 2.(2)建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值见举例说明 1. 1圆： x2 y22 x2 y10 上的点到直线 x y2 距离的最大值是( )A1 B22C1 D2222 2答案 A解析 将圆的方程化为( x1) 2( y1) 21，即圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y2 的距离 d ，故圆上的点到直线 x y2 距离的最大值为|1 1 2|2 2d1 1，选 A.272已
11、知圆 O： x2 y21，直线 x2 y50 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切点为 A，则 的最小值为_PO PA 答案 4解析 圆心 O 到直线 x2 y50 的距离为 ，55 5则| |min .PO 5 PA 与圆 O 相切， PA OA，即 0，PA AO ( ) 2| |2| |2514.PO PA PA AO PA PA PO AO 题型 与圆有关的轨迹问题三1已知 Rt ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)， B(3,0)求直角顶点 C 的轨迹方程解 解法一：设 C(x， y)，因为 A， B， C 三点不共线，所以 y0.因为 AC BC，所以 kACkBC1
12、，又 kAC ， kBC ，所以 1，yx 1 yx 3 yx 1 yx 3化简得 x2 y22 x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 y22 x30( y0)解法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知| CD|AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A， B， C12三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 C 的轨迹方程为( x1) 2 y24( y0)2设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2 y24 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形MONP，求点 P 的轨迹解
13、如图，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 OP 的中点坐标为 ，线段 MN 的中点坐(x2， y2)标为 .(x0 32 ， y0 42 )因为平行四边形的对角线互相平分，8所以 ， ，x2 x0 32 y2 y0 42整理得Error!又点 N(x3， y4)在圆 x2 y24 上，所以( x3) 2( y4) 24.所以点 P 的轨迹是以(3,4)为圆心，2 为半径的圆.(因 为 O， M， P三 点 不 共 线 ， 所 以 应 除 去 两 点 (95， 125)和 ( 215， 285)1掌握“三方法”2明确“五步骤”(2018潍坊调研)已知圆 x2 y24 上一定点 A(
14、2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程9解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以(2 x2) 2(2 y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt PBQ 中，| PN| BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2，所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y10.
