1、1第 2 讲 两条直线的位置关系考纲解读 1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直(重点)2.能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容很少独立命题预测 2020 年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系，求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题型.1两直线的平行、垂直与其斜率的关系2三种距离23常用的直线系方程(1)与直线 Ax By C0 平行的直线系方程是 Ax By m0( mR 且 m C)(2)与直线 Ax By C0
2、垂直的直线系方程是 Bx Ay m0( mR)(3)过直线 l1： A1x B1y C10 与 l2： A2x B2y C20 的交点的直线系方程为A1x B1y C1 (A2x B2y C2)0( R)，但不包括 l2.1概念辨析(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2l1 l2.( )(2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( )(4)已知直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20( A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数)，若直线 l1 l2，则
3、 A1A2 B1B20.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)若直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70 平行，则 m 的值为( )A7 B0 或 7C0 D4答案 B解析 直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70 平行， m(m1)3 m2， m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B.(2)过点(1,0)且与直线 x2 y20 垂直的直线方程是( )A x2 y10 B x2 y10C2 x y20 D x2 y10答案 C解析 直线 x2 y20 的斜率是 ，与之垂直的直线的斜率是2，所以要求的直线12方程是 y02( x1)，整理得 2
4、x y20.(3)原点到直线 x2 y50 的距离是_答案 5解析 原点到直线 x2 y50 的距离 d .| 5|12 22 53(4)已知点 P(1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_答案 x y40解析 线段 PQ 的中点坐标为(1,3)，直线 PQ 的斜率 k11，直线 l 的斜率k21，直线 l 的方程为 x y40.题型 两条直线的位置关系一1若三条直线 y2 x， x y3， mx2 y50 相交于同一点，则 m 的值为_答案 9解析 由Error!得Error! 点(1,2)满足方程 mx2 y50，即m12250， m9.2(2018青岛模拟)已
5、知两条直线 l1： ax by40 和 l2：( a1) x y b0，求满足下列条件的 a， b 的值(1)l1 l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k21 a.若 k20，则 1 a0， a1. l1 l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0.又 l1过点(3，1)，3 a40，即 a (矛盾)，43此种情况不存在， k20，即 k1， k2都存在且不为 0. k21 a， k1 ， l1 l2，ab k1k21，即 (1 a)1.ab又 l1过点(3，1)，3 a b40.由联立，解得 a2， b
6、2.(2) l2的斜率存在， l1 l2，直线 l1的斜率存在， k1 k2，即 1 a，ab又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1 l2， l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 b，4b4联立，解得Error!或Error! a2， b2 或 a ， b2.23条件探究 把举例说明 2 中两条直线方程改为“ l1： ax2 y60， l2： x( a1)y a210” ，分别求：(1)当 l1 l2时 a 的值；(2)当 l1 l2时 a 的值解 (1)解法一：当 a1 时， l1： x2 y60，l2： x0， l1不平行于 l2；当 a0 时， l1： y3， l2： x y
7、10， l1不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线方程可化为 l1： y x3， l2： y x( a1)，由 l1 l2可得Error!解a2 11 a得 a1.综上可知， a1.解法二：由 l1 l2知Error!即Error! Error!a1.(2)解法一：当 a1 时， l1： x2 y60， l2： x0， l1与 l2不垂直，故 a1 不符合；当 a1 时， l1： y x3， l2： y x( a1)，a2 11 a由 l1 l2，得 1 a .(a2) 11 a 23解法二： l1 l2， A1A2 B1B20，即 a2( a1)0，得 a .231已知两直线的斜率存
8、在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2由一般式确定两直线位置关系的方法5注意：在判断两直线位置关系时，比例式 与 ， 的关系容易记住，在解答选择、A1A2 B1B2 C1C2填空题时，建议多用比例式来解答 1已知直线 l1：( m4) x(2 m4) y2 m40 与 l2：( m1) x( m2) y10，则“m2”是“ l1 l2”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件答案 B解析 若 m2，则 l1：6 x80， l2：3 x10， l1 l2.若 l1 l2，则(
9、 m4)( m2)(2 m4)( m1)0，且( m4)1( m1)(2 m4)，解得 m2 或 m2.“ m2”是“ l1 l2”的充分不必要条件故选 B.2已知直线 l1： ax y60 与 l2： x( a2) y a10 相交于点 P，若 l1 l2，则 a_，此时点 P 的坐标为_答案 1 (3,3)解析 若 l1 l2，则 a11( a2)0，解得 a1.解方程组Error!得Error! 所以点 P 的坐标为(3,3)3设直线 mx y m20 过定点 A，则过点 A 且与直线 x2 y10 垂直的直线方程为_6答案 2 x y0解析 直线 mx y m20 可化为 m(x1)
10、y20，定点 A 的坐标为(1,2)直线 x2 y10 的斜率为 ，所求直线的斜率为 2，所求直线的方程为12y22( x1)，即 2x y0.题型 距离问题二1若直线 l1： x ay60 与 l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2之间的距离为( )A. B4423 2C D2823 2答案 C解析 若 l1 l2，则 13 a(a2)0，解得 a1 或 3.经检验 a3 时，两条直线重合，舍去所以 a1，此时有 l1： x y60，l2：3 x3 y20，即 x y 0，23所以 l1与 l2之间的距离 d .|6 23|12 1 2 8232已知点 A(5,2a1)，
11、 B(a1， a4)，若| AB|取得最小值，则实数 a 的值是_答案 12解析 由题意得|AB| a 1 5 2 a 4 2a 1 2 ， a 4 2 a 3 22(a 12)2 492所以当 a 时，| AB|取得最小值123点 P 为 x 轴上一点， P 点到直线 3x4 y60 的距离为 6，则 P 点坐标为_答案 (12,0)或(8,0)解析 设 P(a,0)，则有 6，|3a 40 6|32 4 2解得 a12 或 a8. P 点坐标为(12,0)或(8,0)7距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等(2)解
12、决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x， y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题 1若 P， Q 分别为直线 3x4 y120 与 6x8 y50 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B95 185C D2910 295答案 C解析 易知直线 3x4 y120 与 6x8 y50 平行，所以| PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6 x8 y50 可化为 3x4 y 0，这两条平行线间的距离是52
13、.| 12 52|32 42 29102已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 A(1,3)到直线 l 的距离为 ，则直线2l 的方程为_答案 y7 x 或 y x 或 x y20 或 x y60解析 当直线过原点时，设直线方程为 y kx，由点 A(1,3)到直线 l 的距离为 ，得2 ，解得 k7 或 k1，此时直线 l 的方程为 y7 x 或 y x；当直线不过原|k 3|1 k2 2点时，设直线方程为 x y a，由点 A(1,3)到直线 l 的距离为 ，得 ，解得2|4 a|2 2a2 或 a6，此时直线 l 的方程为 x y20 或 x y60.综上所述，直线 l 的方程为 y
14、7 x 或 y x 或 x y20 或 x y60.题型 对称问题三1已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l： x y30 反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案 6 x y60解析 设点 M(3,4)关于直线 l： x y30 的对称点为 M( a， b)，则反射光线所在直线过点 M，8所以Error! 解得Error!又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ，即 6x y60.y 06 0 x 12 12已知直线 l：2 x3 y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3 x2 y60 关于直
15、线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解 (1)设 A( x， y)，再由已知Error!解得Error! A .(3313， 413)(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上设对称点为 M( a， b)，则Error!解得 M .(613， 3013)设 m 与 l 的交点为 N，则由Error! 得 N(4,3)又 m经过点 N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x46 y1020.(3)解法一：在 l：2 x3 y10 上任取两点，如 M(1,1)， N(4,3)，则 M， N 关于点
16、A 的对称点 M， N均在直线 l上易知 M(3，5)， N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3 y90.解法二：设 P(x， y)为 l上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(1，2)的对称点为P(2 x，4 y)， P在直线 l 上，2(2 x)3(4 y)10，即 2x3 y90.解法三： l l，设 l的方程为 2x3 y c0( c1)，由点到直线的距离公式得 ，| 2 6 c|22 32 | 2 6 1|22 32解得 c9 或 c1(舍去)， l的方程为 2x3 y90.1中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点的对称若点 M(x1， y1)及 N(x， y)关于
17、 P(a， b)对称，则由中点坐标公式得Error!进而求解9(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程如举例说明 2(3)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点 P1(x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l：Ax By C0 对称，由方程组Error!可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标( x2， y2)(其中 B0， x1 x2)如举例说明 1，举例说明 2(1)(2)直线关于直线的对称一般转化为点
18、关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 已知直线 l：3 x y30，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点；(2)直线 x y20 关于直线 l 对称的直线方程；(3)直线 l 关于(1,2)的对称直线解 (1)解法一：设 P(x， y)关于直线 l：3 x y30 的对称点为 P( x， y)， kPP kl1，即 31.y yx x又 PP的中点在直线 3x y30 上，3 30.x x2 y y2由得Error!把 x4， y5 代入得 x2， y7，点 P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7)解法二：设点 P(4,5
19、)关于 l 的对称点为 M(m， n) PM 与 l 垂直，且 PM 的中点 在直线 l 上，(m 42 ， n 52 )Error! 解得Error!点 P(4,5)关于 l 的对称点为(2,7)(2)解法一：用分别代换 x y20 中的 x， y，得关于 l 对称的直线方程为 20， 4x 3y 95 3x 4y 35化简得 7x y220.解法二：设直线 x y20 关于直线 l 对称的直线为 l.解方程组Error!得Error! 即两直线的交点为 ，则点 在直线 l上(52， 92) ( 52， 92)10取直线 x y20 上一点 Q(2,0)，则点 Q(2,0)关于直线 l 的对称点 Q( a， b)在 l上 QQ与 l 垂直，且 QQ的中点 在 l 上(a 22 ， b2)Error! 解得Error! Q ， l的斜率为 7，(175， 95)95 92 175 52直线 l的方程为 y 7 ，即 7x y220.92 (x 52)(3)在直线 l：3 x y30 上取点 M(0,3)，关于(1,2)的对称点 M( x， y)， 1， x2， 2， y1， M(2,1)x 02 y 32l 关于(1,2)的对称直线平行于 l， k3，对称直线方程为 y13( x2)，即 3x y50.
