1、1第 2课时 简单的三角恒等变换题型 三角函数式的化简与证明一1化简： (00，22 2 2cos .2 2cos4cos22 2又(1sin cos )(sin2 cos2) (2sin2cos2 2cos22)(sin2 cos2)2cos 2cos cos ，2(sin22 cos22) 2故原式 cos . 2cos2cos2cos22证明：cos cos 2sin sin . 2 2证明 因为 ， ， 2 2 2 2所以 cos cos cos cos( 2 2 ) ( 2 2 )cos cos sin sin cos cos sin si 2 2 2 2 2 2 2n 2sin s
2、in . 2 2 21三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式(2)二看“名” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”2或“弦化切” (3)三看“形” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” “整式因式分解” “二次式配方” “遇到平方要降幂”等2三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.1. 2 的化
3、简结果为_2 2cos8 1 sin8答案 2sin4解析 原式 24cos24 sin4 cos4 22|cos4|2|sin4cos4|，因为 2)的两根分别为 tan ，tan ，且 ， ，则 _.(2， 2)答案 34解析 由根与系数的关系且 a2得，tan tan 3 a0.所以 tan 0，tan 0.又 ， ，则 ， ，于是 (，0)，(2， 2) ( 2， 0)tan( ) 1，tan tan1 tan tan 3a1 3a 1又 (，0)，所以 .342.计算：cos20cos40cos60cos80_.答案 116解析 原式 cos20cos40cos8012 sin40c
4、os40cos804sin20 sin80cos808sin20 .sin16016sin20116题型 三角恒等变换的综合应用三角度 1 研究三角函数的图象变换问题1.(2019湖南四校联考)函数 ysin x cosx的图象可由函数 ysin x cosx的3 3图象至少向右平移的单位长度是( )A. B. C. D.2 23 3 4答案 B解析 因为 ysin x cosx2sin3 (x3)52sin ，(x3 23)ysin x cosx2sin ，3 (x3)所以函数 ysin x cosx的图象至少向右平移 个单位长度才能得到函数323ysin x cosx的图象.3角度 2 研
5、究三角函数的性质问题2.(2018北京高考)已知函数 f(x)sin 2x sinxcosx.3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间 上的最大值为 ，求 m的最小值3， m 32解 (1) f(x) sin2x1 cos2x2 32 sin2x cos2x32 12 12sin ，(2x6) 12所以 f(x)的最小正周期为 T .22(2)由(1)知 f(x)sin .(2x6) 12因为 x ，3， m所以 2x .6 56， 2m 6要使 f(x)在区间 上的最大值为 ，3， m 32即 sin 在区间 上的最大值为 1，(2x6) 3， m只需 2m ，即 m ，6
6、 2 3所以 m的最小值为 .3角度 3 解决实际问题3如图，在矩形 OABC中， AB1， OA2，以 B为圆心， BA为半径在矩形内部作弧，点 P是弧上一动点， PM OA，垂足为 M， PN OC，垂足为 N，求四边形 OMPN的周长的最小值6解 连接 BP，设 CBP ，其中 0 ，2则 PM1sin ， PN2cos ，则周长 C62(sin cos )62 sin ，2 ( 4)因为 0 ，所以 ，2 4 434故当 ，即 时，周长 C有最小值 62 .4 2 4 21.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成 f(x) Asin(x )
7、 b的形式再求解要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现 及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期2三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.1.(2018静海区模拟)为了得到函数 y sinxcosx co
8、s2x的图象，只需将函数3127ysin2 x的图象( )A.向左平移 个长度单位12B.向右平移 个长度单位12C.向左平移 个长度单位6D.向右平移 个长度单位6答案 A解析 函数 y sinxcosx cos2x sin2x cos2xsin sin2 .312 32 12 (2x 6) (x 12)只需将函数 ysin2 x的图象向左平移 个长度单位，即可得到函数 y sinxcosx12 3cos2x的图象.122如图是半径为 1的半圆，且四边形 PQRS是半圆的内接矩形，设 SOP ，求 为何值时矩形的面积最大，并求出最大值解 因为 SOP ，所以 PSsin ， SR2cos ，
9、故 S 矩形PQRS SRPS2cos sin sin2 ，故当 时，矩形的面积有最大值 1.43.(2018合肥模拟)已知函数 f(x) sinxcosx cos .312 (2x 3)(1)求函数 f(x)图象的对称轴方程；(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数为 g(x)当 x4时，求函数 g(x)的值域0，2解 (1) f(x) sinxcosx cos sin2x cos2x sin .312 (2x 3) 34 14 12 (2x 6)令 2x k， kZ，解得 x .6 2 3 k2函数 f(x)图象的对称轴方程为 x ， kZ.3 k28(2)易知 g(x) sin . x ，12 (2x 23) 0， 22 x ，23 23， 3sin ，(2x23) 1， 32 g(x) sin ，即当 x 时，函数 g(x)的值域为12 (2x 23) 12， 34 0， 2.12， 34
