1、1第 6 讲 对数与对数函数考纲解读 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数 y ax(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点预测 2020 年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，
2、主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1对数22对数函数的图象与性质续表33反函数指数函数 y ax(a0，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1)互为反函数，它01 们的图象关于直线 y x 对称02 1概念辨析(1)log2x22log 2x.( )(2)函数 ylog 2(x1)是对数函数( )(3)函数 yln 与 yln (1 x)ln (1 x)的定义域相同( )1 x1 x(4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 a0， a1，函数 y ax与 ylog a( x)的图象可能是( )答案 B4解析 ylog a( x)的定义域是(，0)，所以排除 A，C；
3、对于选项 D，由 y ax的图象知 01，矛盾，故排除 D.故选 B.(2)设 alog 2 ， be ， cln ，则( )13 A c1，所以 a0，且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化如举例说明 3 中 18b5 的变形 计算下列各式：(1)计算(lg 2) 2lg 2lg 50lg 25 的结果为_；(2)若 lg xlg y2lg (2 x3 y)，则 log 的值为_；32xy(3)计算：(log 32log 92)(log43log 83)_.答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 5 2lg 2lg 1
4、002lg 52(lg 2lg 5)2lg 102.(2)由已知得 lg (xy)lg (2 x3 y)2，所以 xy(2 x3 y)2，整理得 4x213 xy9 y20，即 4 213 90，(xy) xy6解得 1 或 .xy xy 94由 x0， y0,2x3 y0 可得 1，不符合题意，舍去，xy所以 log log 2.32xy3294(3)原式 (lg 2lg 3 lg 2lg 9) (lg 3lg 4 lg 3lg 8) (lg 2lg 3 lg 22lg 3) (lg 32lg 2 lg 33lg 2) .3lg 22lg 3 5lg 36lg 2 54题型 对数函数的图象及
5、应用二1(2019青岛模拟)函数 f(x)lg (| x|1)的大致图象是( )答案 B解析 易知 f(x)为偶函数，且f(x)Error!当 x1 时， ylg x 的图象向右平移 1 个单位，可得 ylg (x1)的图象，结合选项可知， f(x)的大致图象是 B.2当 01 时，显然不成立；当 01 时，图象上升；01 和 00 且 a1， b0 且 b1)，则函数 f(x) ax与 g(x)log bx的图象可能是( )答案 B解析 因为 lg alg b0，所以 lg (ab)0，所以 ab1，即 b ，故 g(x)1alog bxlog xlog ax，则 f(x)与 g(x)互为反
6、函数，其图象关于直线 y x 对称，结1a合图象知，B 正确2设实数 a， b 是关于 x 的方程|lg x| c 的两个不同实数根，且 abc B bac C cba D cab答案 D解析 因为 e2.718282，所以 alog 2elog221； bln 2log221，又因为 alog 2eab.1213角度 2 解对数不等式2(2018银川模拟)设函数 f(x)若 f(a)f( a)，则实数 a 的取值范围是( )A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案 C解析 若 a0，则 log2alog a，即 2log2a0，所以 a1.12若
7、alog2( a)，即 2log2( a)0，且 a1)x6 x(1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当 00，且 a1，30，且 a1，3logab借助 ylog ax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与0b需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 ylog ax 的单调性求解3解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤一求 求出函数的定义域判断对数函数的底数与 1 的关系，分 a1 与 0b1,0b1,0bc，A 错误；0ac1 ，又ab0， abbc1 abac1 ，即 abcbac，B 错误；易知 ylog cx 是减函数，0log cblogca，
8、log bclog ac0，又ab10， alogbc blogac0， alogbc1，则 ff(x)log 2(log2x)2，log 2x2 2 ， x2 ，所以 x . 42 42若 0x1，则 ff(x)2log2x x2，所以 0x1.综上知， x 的取值范围是2,1 ，)42解法二：作出函数 f(x)的图象如下：由图象可知，若 ff(x)2，则 f(x) 或 f(x)0.14再次利用图象可知 x 的取值范围是2,1 ，)423函数 f(x)log 2 log (2x)的最小值为_x 2答案 14解析 f(x) log2x2log2(2x)12log 2x(log22log 2x)log 2x(log 2x)2 2 ，(log2x12) 14所以当 log2x ，即 x 时， f(x)取得最小值 .12 22 1413
