1、1第 4 讲 证明不等式的基本方法考纲解读 了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点. 预测 2020 年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型.1基本不等式定理 1：如果 a， bR，那么 a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时，等号成立01 02 定理 2：如果 a， b0，那么 ，当且仅当 a b 时，等号成立，即两个正a b2 03 ab 04 数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数定理 3：如果 a， b，
2、cR ，那么 ，当且仅当 a b c 时，等号成a b c3 05 3abc 06 立2比较法3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得出命题 成立01 02 2(2)分析法：从 要证的结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直至所需条件为03 04 已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立1概念辨析(1)设 x a2 b， S a b21 则 S x.( )(2)若 1，则 x2 yx y.( )x 2yx y(3)|a b| a b|2 a|.( )(4)若实数 x， y
3、适合不等式 xy1， x y2，则 x0， y0.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列四个不等式：log x10lg x2( x1)；| a b|1)，正确1lg xab0 时，| a b| a| b|，不正确；因为 ab0， 与 同号，ba ab所以 2，正确；|ba ab| |ba| |ab|由| x1| x2|的几何意义知，|x1| x2|1 恒成立，正确，综上正确故选 C.(2)已知 a， b 是不相等的正数， x ， y ， z( ab)0.25，则 x， y， z 的大a b2 a b小关系是( )A xyz B xxz D yz2， y2 x2 0，a
4、b 2ab2 a b 22 y2x2z2，又 x0， y0， z0， yxz.(3)设 x a2b25， y2 ab a24 a，若 xy，则实数 a， b 应满足的条件为_答案 ab1 或 a23解析 因为 x y( a2b25)(2 ab a24 a)( a2b22 ab1)( a24 a4)( ab1) 2( a2) 20，若 xy，则实数 a， b 应满足的条件为 ab1 或 a2.题型 比较法证明不等式一1设函数 f(x)| x2|2 x3，记 f(x)1 的解集为 M.(1)求 M；(2)当 x M 时，证明： xf(x)2 x2f(x)解 (1)由已知，得 f(x)Error!当
5、 x2 时，由 f(x) x11，解得 x0，此时 x0；当 x2 时，由 f(x)3 x51，解得 x ，显然不成立43故 f(x)1 的解集为 M x|x0(2)证明：当 x M 时， f(x) x1，于是 xf(x)2 x2f(x) x(x1) 2 x2(x1) x2 x 2 .(x12) 14令 g(x) 2 ，(x12) 14则函数 g(x)在(，0上是增函数， g(x) g(0)0.xf(x)2 x2f(x)0，故 xf(x)2 x2f(x)2(2018吉林长春模拟)(1)如果关于 x 的不等式| x1| x5| m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围；(2)若 a， b 均为
6、正数，求证： aabb abba.解 (1)令 y| x1| x5|Error!可知| x1| x5|6，故要使不等式|x1| x5| m 的解集不是空集，有 m6.(2)证明：由 a， b 均为正数，则要证 aabb abba，只要证 aa bbb a1，整理得 a b1.(ab)当 a b 时， a b0，可得 a b1；(ab)4当 a1.(ab)可知 a， b 均为正数时， a b1，(ab)当且仅当 a b 时等号成立，从而 aabb abba成立1作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比较法的应用范围5当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法2
7、作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 已知函数 f(x)| x1| x1|， P 为不等式 f(x)4 的解集(1)求 P；(2)证明：当 m， n P 时，| mn4|2| m n|.解 (1) f(x)| x1| x1|Error!由 f(x)的单调性及 f(x)4，得 x2 或 x4 的解集 P x|x2 或 x2，| n|2，所以 m24， n24，所以( mn4) 24( m n)2( m24)( n24)0，所以( mn4) 24(m n)2，从而有| mn4|2| m n|.题型
8、综合法证明不等式二(2018合肥三模)已知函数 f(x)| x1| x3|.(1)解不等式 f(x) x1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a， b 满足 a0， b0， a b c.求证： 1.a2a 1 b2b 1解 (1) f(x) x1，即| x1| x3| x1.6当 x3 时，不等式可化为 2x4 x1， x5.又 x3，31， n1， a m1， b n1， m n4， a2a 1 b2b 1 m 1 2m n 1 2n m n 41m 1n 1，原不等式得证4mn 4(m n2 )21综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左
9、右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2 b22 ab，它的变形形式有a2 b22| ab|； a2 b22 ab；( a b)24 ab；a2 b2 (a b)2； 2.12 a2 b22 (a b2 )(4) ，它的变形形式有a b2 aba 2( a0)； 2( ab0)；1a ab ba 2( abf .f ab|a| (ba)证明：要证 f ，f ab|a| (ba)只需证| ab3
10、| b3 a|，即证( ab3) 2(b3 a)2，又( ab3) 2( b3 a)2 a2b29 a2 b298( a21)( b29)因为| a|(b3 a)2成立，所以原不等式成立1分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式( a2 b22 ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分(aba b2 ， a0， b0)析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2用分析法证“若 A 则 B”这个命题的模式为了证明命题 B 为真，只需证明命题 B1为真，从而有只需证明命题 B2为真，从而有只需证明命题 A 为真，而已知 A 为
11、真，故 B 必真 某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个不等关系式子： 12 ；2 ； 2； 2 ； 23 2 2 5 3 5 3 6 6 7 5 7 5 .2 6(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解 (1) 2 3(答案不唯一 )10 2 11(2) .a 2 a a 3 a 1证明：要证原不等式，只需证 ，a 2 a 1 a 3 a因为不等式两边都大于 0，只需证2a32 2a32 ， a 2 a 1 a a 3只需证 ，a2 3a 2 a2 3a只需证 a23 a2 a23 a，只需证 20，显然成立，所以原不等式成立9
