1、1第 3 讲 绝对值不等式考纲解读 1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式(重点)2.掌握| ax b| c，| ax b| c，| x a| x b| c 型不等式的解法(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容. 预测 2020 年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围.以解答题的形式呈现，属中档题型.1绝对值不等式(1)定理如果 a， b 是实数，那么| a b| |a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立01 02 (2)如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b|
2、b c|.当且仅当 (a b)(b c)003 时，等号成立，即 b 落在 a， c 之间(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式| a1 a2 an| a1| a2| an|.| a| b| ab| a| b|.2绝对值不等式的解法(1)形如| ax b| cx d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解(2)绝对值不等式| x|a 与| x|0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法|ax b| c c ax b c(c0)，03 |ax b| c ax b c 或 ax b c(c0)04 1概念辨析(1)不等式| x1| x2|c 的解集为 R，则 c0.(
3、)2(3)|ax b| c(c0)的解集，等价于 c ax b c.( )(4)对| a b| a| b|当且仅当 ab0 时等号成立( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)设 a， b 为满足 ab|a b| B| a b|a b|.(2)若不等式| kx4|2 的解集为 x|1 x3，则实数 k_.答案 2解析 由| kx4|22 kx6.不等式的解集为 x|1 x3， k2.(3)函数 y| x3| x3|的最小值为_答案 6解析 因为| x3| x3|( x3)( x3)|6，当3 x3 时，|x3| x3|6，所以函数 y| x3| x3|的最小值为 6.(4)不等
4、式| x1| x5|2；(2)求函数 y f(x)的最小值解 (1)解法一：令 2x10， x40 分别得x ， x4.原不等式可化为：12Error!或 Error!或Error!原不等式的解集为Error!.解法二： f(x)|2 x1| x4|Error!画出 f(x)的图象，如图所示3求得 y2 与 f(x)图象的交点为(7,2)， .(53， 2)由图象知 f(x)2 的解集为Error!.(2)由(1)的解法二知， f(x)min .92条件探究 把举例说明中函数改为“ f(x)| x1|2 x3|” ，解不等式| f(x)|1.解 f(x)Error!y f(x)的图象如图所示由
5、 f(x)的表达式及图象，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5，13故 f(x)1 的解集为 x|11 的解集为 x5.x|13解| x a| x b| c 或| x a| x b| c 的一般步骤(1)零点分段法4令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集(2)利用| x a| x b|的几何意义数轴上到点 x1 a 和 x2 b 的距离之和大于 c 的全体，|x a| x b
6、| x a( x b)| a b|.(3)图象法：作出函数 y1| x a| x b|和 y2 c 的图象，结合图象求解见举例说明提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 1求不等式| x1| x2|5 的解集解 当 x0 时， 5| x2|的解集；(2)若 g(x) f(x m) f(x m)的最小值为 4，求实数 m 的值解 (1) f(x)5| x2|可化为|2 x3| x2|5，5当 x 时，原不等式化为(2 x3)( x2)5，解得 x2，32 x2；当25，解得 x5，解得 x5| x2|的解集为(，0)(2，)(2) f(
7、x)|2 x3|， g(x) f(x m) f(x m)|2 x2 m3|2 x2 m3|(2 x2 m3)(2 x2 m3)|4 m|，依题意有 4|m|4，解得 m1.角度 2 用绝对值不等式的性质证明不等式(多维探究)2设 a0，| x1|1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)| x1| x1|，即 f(x)Error!故不等式 f(x)1 的解集为Error!.7(2)当 x(0,1)时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0,1)时| ax1|0，| ax1|1有解，求 a 的取值范围解 当 x(1,0
8、)时， f(x)1 有解| x a|3， xf(x)max， f(x)a 恒成立 af(x)min.(2)第二招是求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即| a| b| ab| a| b|；利用零点分区间法 已知 f(x)| x a|， aR.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)|2 x5|6 的解集；(2)若函数 g(x) f(x)| x3|的值域为 A，且1,2 A，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，不等式为| x1|2 x5|6.当 x1 时，不等式可化为( x1)(2 x5)6，解得 x0，所以 x0；当 1x 时，不等式可化为( x1)(2 x5)6，52解得 x2，所以 x；当 x 时，不等式可化为( x1)(2 x5)6，52解得 x4，所以 x4.综上所述，原不等式的解集为 x|x0 或 x4(2)因为| g(x)| x a| x3| x a( x3)| a3|，所以 g(x)| a3|，| a3|，所以函数 g(x)的值域 A| a3|，| a3|，8因为1,2 A，所以Error! 解得 a1 或 a5.所以实数 a 的取值范围是(，15，)
