1、1第 12 章 选修 4 系列 第 2 讲A 组 基础关1(2019四川达州模拟)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数，tR)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 asin (a0)(1)求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；(2)设直线 l 截圆 C 的弦长为半径长的 倍，求 a 的值3解 (1)圆 C 的直角坐标方程为 x2 2 .(ya2) a24直线 l 的普通方程为 4x3 y80.(2)圆 C： x2 2 a2，直线 l：4 x3 y80，(ya2) 14直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半
2、径长的 倍，3圆心 C 到直线 l 的距离 d ，|3a2 8|5 12 |a|2解得 a32 或 a .32112(2018芜湖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1过点 P(a,1)，其参数方程为Error!(t 为参数， aR)，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 cos2 2cos 0.(1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A， B 两点( P 在 A， B 之间)，且| PA|2| PB|，求实数 a的值解 (1)将 C1的参数方程Error!消参得普通方程为 x y a10
3、，C2的极坐标方程为 cos2 2cos 0 两边同乘 得 2cos2 2 cos 20 即 y22 x.(2)将曲线 C1的参数方程代入曲线 C2： y22 x 得 t22 t12 a0，12 2设 A， B 对应的参数为 t1， t2，由题意得| t1|2| t2|，且 P 在 A， B 之间，则 t12 t2，由Error!解得 a .3323(2018石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线 C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 C2.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，12建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 2.(1)求曲线 C2的参数方
4、程；(2)过坐标原点 O 且关于 y 轴对称的两条直线 l1与 l2分别交曲线 C2于 A， C 和 B， D，且点 A 在第一象限，当四边形 ABCD 的周长最大时，求直线 l1的普通方程2解 (1)由 2，得 24，所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2 y24.故由题意可得曲线 C2的直角坐标方程为 y21.x24所以曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)(2)设四边形 ABCD 的周长为 l，点 A(2cos ，sin )，则 l8cos 4sin 4 sin( ) ，所以当5 (其 中 sin 25， cos 15) 2 k (kZ)时， l 取得最大值，最大值为 4 ，此时
5、2 k (kZ)， 2 5 2所以 2cos 2sin ，sin cos ，45 15此时 A .(45， 15)所以直线 l1的普通方程为 x4 y0.4已知直线 l 的参数方程是Error!( t 是参数)，圆 C 的极坐标方程为 4cos.( 4)(1)求圆心 C 的直角坐标；(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值解 (1) 4cos 2 cos 2 sin ，( 4) 2 2 22 cos 2 sin ，2 2圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0，2 2即( x )2( y )24.2 2圆心 C 的直角坐标为( ， )2 2(2)由直线 l 上的点向
6、圆 C 引切线，则切线长为(22t 2)2 (22t 42 2)2 4 t2 8t 48 ，又 4 ， t 4 2 32 t 4 2 32 2由直线 l 上的点向圆 C 引切线，切线长的最小值为 4 .2B 组 能力关1在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(t 是参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： sin2 cos ，将曲线 C 上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，然后再向右平移一个单位得到曲线 C2，又已知曲线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点(1)求曲线 C2的直角坐标方程；(2)设定点 P(2,0)，求 的值1|PA
7、| 1|PB|解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x，将曲线 C 上所有点的纵坐标不变，横坐标缩3短到原来的一半，得到曲线 y22 x，然后再向右平移一个单位得到曲线 C2： y22( x1)(2)将曲线 C1的参数方程Error!( t 是参数)代入曲线 C2的方程得 t22 t40.2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t22 ， t1t24，2 1|PA| 1|PB| |PA| |PB|PA|PB| |t1 t2|t1t2| . t1 t2 2 4t1t2|t1t2| 8 164 622(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Er
8、ror!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a.17解 (1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4 y30.由Error! 解得Error!或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l 的普通方程为 x4 y a40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为d .|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .a 917由题设得 ，所以 a8；
9、a 917 17当 a4 时， d 的最大值为 . a 117由题设得 ，所以 a16. a 117 17综上， a8 或 a16.3在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是Error!(t 是参数)在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： 4cos .(1)当 m1， 30时，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；(2)当 m1 时，若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，设 P(1,0)，且|PA| PB|1，求直线 l 的倾斜角解 (1)由 4cos ，得 24 cos ，又 x cos ， y sin ，所以曲线 C 的直角坐标方程为( x2) 2
10、y24，所以曲线 C 是以点 M(2,0)为圆心，2 为半径的圆由直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，4得直线 l 的直角坐标方程为 x y10.3由圆心 M 到直线 l 的距离 d 0.设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t22cos ， t1t231，即 或 .( 4， 2) ( 2， 34)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error! .(t为 参 数 ， 4 34)设 A， B， P 对应的参数分别为 tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足tA tB2t22 tsin 10.2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P 的坐标( x， y)满足Error!所以点 P 的轨迹的参数方程是Error!.( 为 参 数 ， 4 34)5
