1、1第 2 讲 参数方程考纲解读 了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点. 预测 2020 年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变数 t 的函数 Error!，并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x， y)都在这条曲线01 上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程提
2、醒：直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时， t 才有几何意义且几何意义为：| t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0， y0)的距离1概念辨析(1)直线Error!( t 为参数)的倾斜角 为 30.( )(2)过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x， y)为终点的有向线段 的数M0M 2量( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆( )(4)已知椭圆的参数方程Error!( t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数
3、 t ，点 O 为 3原点，则直线 OM 的斜率为 .( )3答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)若直线的参数方程为Error!( t 为参数)，则直线的斜率为_答案 32解析 因为Error!所以 3x2 y7，此直线的斜率为 .32(2)椭圆Error!( 为参数)的离心率为_答案 45解析 将Error!消去参数 ，得椭圆 1.x225 y29所以 a225， b29， c2 a2 b216，所以 a5， b3， c4，所以离心率 e .ca 45(3)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，则曲线 C 的普通方程为_答案 y22 x2(1 x1)解析 由Erro
4、r!( 为参数)消去参数 ，得 y22 x2(1 x1)题型 参数方程与普通方程的互化一1求直线Error!( t 为参数)与曲线Error!( 为参数)的交点个数解 将Error! 消去参数 t 得直线 x y10；将Error! 消去参数 ，得圆 x2 y29.又圆心(0,0)到直线 x y10 的距离 d 0，即 a0，2Error! 根据参数方程中参数的几何意义可知|AB| t1 t2| 8， a2. t1 t2 2 4t1t2 8 8 1 4a 32a题型 极坐标方程和参数方程的综合应用三(2019贵州联考)已知在一个极坐标系中，点 C 的极坐标为 .(2， 3)(1)求出以 C 为
5、圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点， Q(5， )， M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运3动时，求点 M 的轨迹的普通方程7解 (1)如图，设圆 C 上任意一点A( ， )，则 AOC 或 . 3 3由余弦定理得，4 24 cos 4，( 3)所以圆 C 的极坐标方程为 4cos .( 3)(2)在直角坐标系中，点 C 的坐标为(1， )，可设圆 C 上任意一点3P(12cos ， 2sin )，又令 M(x， y)，由 Q(5， )，
6、 M 是线段 PQ 的中点，得点 M3 3的轨迹的参数方程为Error!( 为参数)，即Error!( 为参数)，点 M 的轨迹的普通方程为( x3) 2 y21.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题 (2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k
7、 变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径2解 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；8消去参数 m 得 l2的普通方程 l2： y (x2)1k设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2 y24( y0)，所以 C 的普通方程为 x2 y24( y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )，联立Error!得cos sin 2(cos sin )故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .13 910 110代入 2(cos2 sin 2 )4 得 25，所以交点 M 的极径为 .5
