1、1第 1 讲 坐标系考纲解读 1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换2.了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点)3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容. 预测 2020 年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换. 题型为解答题，属中、低档题型.1伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： Error!的作用下，点01 P(x， y)对应到点 P( x，
2、y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是( x， y)，极坐标是( ， )，则它们之间的关系为：Error!Error!1概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)点 P 的直角坐标为( ， )，那么它的极坐标可表示为 .( )2 2 (2，34)2(3)过极点作倾斜角为 的直线的极坐标方程可表示为 或 .( )(4)圆心在极轴上的点( a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2 as
3、in .( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为Error!则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程变为( )A y sin2x B y3sin x13 12C y sin D y3sin2 x13 x2答案 D解析 由已知得Error!代入 ysin x，得 ysin2 x，即 y3sin2 x，所以13ysin x 的方程变为 y3sin2 x.(2)在极坐标系中 A ， B 两点间的距离为_(2， 3) (4， 23)答案 6解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中， A， B 两点如图所示，|AB| OA| OB|6.解法二： A
4、， B 的直角坐标为 A(1， )，(2， 3) (4， 23) 3B(2,2 )，| AB| 6.3 2 1 2 23 3 2(3)曲线 C1： 与曲线 C2： sin 的交点坐标为_ 6 ( 6) 32答案 (1， 6)解析 将 代入 sin ，得 sin ，所以 1，所以曲线 C1 6 ( 6) 32 3 32与曲线 C2的交点坐标为 .(1， 6)(4)已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin ，点 A 的极坐标为 A ，( 4) 2 (22， 74)3则点 A 到直线 l 的距离为_答案 522解析 由 2 sin 得( 4) 22 ， sin cos 1，化为直角坐标方程得 y x
5、1 即(22sin 22cos ) 2x y10，点 A 的直角坐标为 ，即(2，2)，所以点(22，74) (22cos74， 22sin74)A 到直线 l 的距离为 .|2 2 1|12 1 2 522题型 平面直角坐标系中的伸缩变换一在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2 y21 变换为椭圆 1.x29 y24解 设伸缩变换为Error!由题知 1，即 2x2 2y21.与 2x29 2y24 ( 3) ( 2)x2 y21 比较系数，得Error!故Error!所以伸缩变换为Error!即先使圆 x2 y21 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍，
6、得到椭圆 y21，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x29 1.x29 y24伸缩变换后方程的求法平面上的曲线 y f(x)在变换 ：Error!的作用下的变换方程的求法是将Error!代入y f(x)，得 f ，整理之后得到 y h(x)，即为所求变换之后的方程见举例y (x )说明提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标( x， y)与变换后的坐标( x， y).若函数 y f(x)的图象在伸缩变换 ：Error!的作用下得到曲线的方程为 y3sin，求函数 y f(x)的最小正周期(x 6)4解 由题意，把变换公式代入曲线 y3sin 得 3y3sin
7、，整理得(x 6) (2x 6)ysin ，故 f(x)sin .所以 y f(x)的最小正周期为 .(2x 6) (2x 6) 22题型 极坐标与直角坐标的互化二(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程； (2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解 (1)由 x cos ， y sin ，得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1
8、是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线，曲线 C1的方程为 yError!记 y 轴右边的射线为 l1， y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时， A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l243与 C2有两个公共点当 l2与 C2只有一个公共点时，
9、 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0|k 2|k2 1或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点. 43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.43条件探究 把举列说明中曲线 C1的极坐标方程改为“ (0 2)” ，曲线 C2的极坐标方程改为“ 22 cos 2 sin 30” ，若 C1与 C2有且仅有两个公共点，3求 的取值范围5解 由 x cos ， y sin 得曲线 C2的直角坐标方程为x2 y22 x2 y30，3即( x1) 2( y )21，3由题意知 ， 2可设曲线 C1的直角坐标方程为 y kx， k
10、tan ，当曲线 C1与曲线 C2相切时， 1，|k 3|k2 12解得 k ，即 tan ，33 33又 0 2，所以 . 6结合图形可知，若 C1与 C2有且仅有两个公共点，则 .( 6， 2)1极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x cos 及 y sin 直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ， sin ， 2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形技巧2极角的确定由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角(1)当 x0 时， 角才能由
11、 tan 按上述方法确定yx(2)当 x0 时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理：当 x0， y0 时， 可取任何值；当 x0， y0 时，可取 ；当 x0， y0)C1， C2分别交于 P， Q 两点(1)求曲线 C1， C2的极坐标方程；(2)求| OP|2|OQ|2的取值范围解 (1)因为 x cos ， y sin ，所以曲线 C1的极坐标方程为 2sin2 1，即 2 ， 2cos22 21 sin2由Error! ( 为参数)，消去 ，即得曲线 C2的直角坐标方程为 x2( y1) 21；将 x cos ， y sin ，代入化简，可得曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(2)曲线 C3的极坐标方程为 ，( 0， 00)，点 M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积S |OA| Bsin AOB4cos 12 |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .39
