1、1第 5 讲 数学归纳法考纲解读 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题(重点)2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数 n 有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：1(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N *)时命题成立；2(归纳递推)假设 n k(k n0， kN *)时命题成立，证明当 n k1 时命题也成01 立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n
2、0开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法1概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n1 时结论成立( )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到 n k1 时，项数都增加了一项( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( )(4)用数学归纳法证明等式“122 22 n2 2 n3 1” ，验证 n1 时，左边式子应为 122 22 3.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是( )A xsinx， x(0，)Be x x1( xR)C1 2 n1 (nN *)12 122 12n 1
3、 (12)Dsin( )sin cos cos sin ( ， R)答案 C解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知 C 符合题意2(2)用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (a1， nN *)，在验证 n1 时，1 an 21 a等式左边的项是( )A1 B1 aC1 a a2 D1 a a2 a3答案 C解析 验证 n1 时，等式左边的项是 1 a a2.(3)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除” ，当第二步假设n2 k1( kN *)命题为真时，进而需证 n_时，命题亦真答案 2 k1解析 由于步长为 2，所以 2k1 后一个
4、奇数应为 2k1.题型 用数学归纳法证明恒等式一设 i 为虚数单位， n 为正整数， 0,2)用数学归纳法证明：(cos isin )ncos n isin n .证明 当 n1 时，左边右边cos isin ，所以命题成立；假设当 n k 时，命题成立，即(cos isin )kcos k isin k ，则当 n k1 时，(cos isin )k1 (cos isin )k(cos isin )(cos k isin k )(cos isin )(cos k cos sin k sin )i(sin k cos cos k sin )cos( k1) isin( k1) ，所以当 n k
5、1 时，命题成立综上，由和可得，(cos isin )ncos n isin n .数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0是多少(2)注意点：由 n k 时等式成立，推出 n k1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程提醒：归纳假设就是证明 n k1 时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.3用数学归纳法证明： (nN *)1213 2235 n2 2n 1 2n 1 n n 12 2n 1证明 当 n1 时
6、，左边 ，1213 13右边 ，1 1 12 21 1 13左边右边，等式成立假设 n k(k1， kN *)时，等式成立即 ，1213 2235 k2 2k 1 2k 1 k k 12 2k 1当 n k1 时，左边 1213 2235 k2 2k 1 2k 1 k 1 2 2k 1 2k 3 k k 12 2k 1 k 1 2 2k 1 2k 3k k 1 2k 3 2 k 1 22 2k 1 2k 3 ， k 1 2k2 5k 22 2k 1 2k 3 k 1 k 22 2k 3右边 k 1 k 1 122 k 1 1 ， k 1 k 22 2k 3左边右边，等式成立由知，对 nN *，
7、原等式成立题型 用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式 (113)(1 15) (1 12n 1)均成立2n 12证明 当 n2 时，左边1 ，右边 .13 43 52左边右边，不等式成立假设当 n k(k2，且 kN *)时不等式成立即 .(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 124则当 n k1 时， (113)(1 15) (1 12k 1) 1 12 k 1 1 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 4k2 8k 322k 1 .2k 32k 122k 1 2 k 1 12当 n k1 时，不等式也
8、成立由知对于一切大于 1 的自然数 n，不等式成立应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由 n k 成立，推证 n k1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.求证：当 n1( nN *)时，(12 n) n2.(112 13 1n)证明 (1)当 n1 时，左边右边，命题成立当 n2 时，左边(12) 22，(112) 92命题成立(2)假设当 n k(k2)时命题成立，即(12 k) k2.(112 1
9、k)则当 n k1 时，有左边(12 k)( k1) (112 1k) 1k 1(12 k) (12 k) ( k1)(112 1k) 1k 11 k2 1( k1) .(112 1k) k2 (1 12 1k)当 k2 时，1 1 ，12 1k 12 32左边 k2 1( k1) k22 k1 ( k1) 2.k2 32 325这就是说当 n k1 时，命题成立由(1)(2)可知当 n1( nN *)时原命题成立题型 归纳猜想证明三如图， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， Pn(xn， yn)(00，所以 a12，同理可得 a26， a312.(2)依题意，得 xn ， yn
10、，an 1 an2 3 an an 12由此及 y 3 xn得 2 (an1 an)，2n (3an an 12 ) 32即( an an1 )22( an1 an)由(1)可猜想： an n(n1)( nN *)下面用数学归纳法予以证明：当 n1 时，命题显然成立；假设当 n k 时命题成立，即有 an k(k1)，则当 n k1 时，由归纳假设及( ak1 ak)22( ak ak1 )得ak1 k(k1) 22 k(k1) ak1 ，6即 a 2( k2 k1) ak1 k(k1)( k1)( k2)0，2k 1解得 ak1 ( k1)( k2)或 ak1 k(k1)0， nN *.an
11、2 1an(1)求 a1， a2， a3，并猜想 an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解 (1)当 n1 时，由已知得 a1 1， a 2 a120.a12 1a1 21所以 a1 1( a10)3当 n2 时，由已知得 a1 a2 1，a22 1a2将 a1 1 代入并整理得 a 2 a220.3 2 3所以 a2 (a20)同理可得 a3 .5 3 7 5猜想 an (nN *)2n 1 2n 1(2)证明：由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立假设当 n k(k3， kN *)时，通项公式成立，即 ak .2k 1 2k 1由 ak1 Sk1 Sk ，ak 12 1ak 1 ak2 1ak将 ak 代入上式并整理，得2k 1 2k 1a 2 ak1 20，2k 1 2k 1解得 ak1 (负值舍去)2k 3 2k 1即当 n k1 时，通项公式也成立由和，可知对所有 nN *， an 都成立2n 1 2n 17
