1、1第 4 讲 直接证明与间接证明考纲解读 1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法(重点)2.能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：反设；归谬；结论(难点)3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测 2020 年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.1直接证明续表22间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题 不成立(即在原命题的条件下，结
2、论不成立)，经过正01 确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 原命题成立的证明方法02 (2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立1概念辨析(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件( )(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)要证明 f .12 (x1 x22 )证明
3、要证 f(x1) f(x2)f ，12 (x1 x22 )即证明 (tanx1tan x2)tan ，12 x1 x22只需证明tan ，12(sinx1cosx1 sinx2cosx2) x1 x22只需证明 .由于 x1， x2 ，故 x1 x2(0，)所以sin x1 x22cosx1cosx2 sin x1 x21 cos x1 x2 (0， 2)cosx1cosx20，sin( x1 x2)0，41cos( x1 x2)0，故只需证明1cos( x1 x2)2cosx1cosx2，即证 1cos x1cosx2sin x1sinx22cosx1cosx2，即证 cos(x1 x2)f
4、 .12 (x1 x22 )条件探究 举例说明中“ f(x)”变为“ f(x)3 x2 x”，试证：对于任意的x1， x2R，均有 f .f x1 f x22 (x1 x22 )1分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证2分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明过程中所需要用的知识不太明确、具体含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导5(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的
5、已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， A， B， C 的对边分别为 a， b， c.求证： .1a b 1b c 3a b c证明 要证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，也就是 1，a b ca b a b cb c ca b ab c只需证 c(b c) a(a b)( a b)(b c)，需证 c2 a2 ac b2，又 ABC 三内角 A， B， C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得b2 c2 a22 accos60，即 b2 c2 a2 ac，故 c2 a2 ac b2成立于是原等式成立题型 综合法的应用二(2018黄冈模拟)设数列 an的前 n 项
6、和为 Sn，且(3 m)Sn2 man m3( nN)其中 m 为常数，且 m3.(1)求证： an是等比数列；(2)若数列 an的公比 q f(m)，数列 bn满足 b1 a1， bn f(bn1 )(nN， n2)，求32证： 为等差数列1bn证明 (1)由(3 m)Sn2 man m3，得(3 m)Sn1 2 man1 m3.两式相减，得(3 m)an1 2 man， m3， ， an是等比数列an 1an 2mm 3(2)(3 m)Sn2 man m3，(3 m)a12 ma1 m3， a11.b1 a11， q f(m) ，当 nN 且 n2 时，2mm 3bn f(bn1 ) bn
7、bn1 3 bn3 bn132 32 2bn 1bn 1 3 .1bn 1bn 1 136 是首项为 1，公差为 的等差数列1bn 131利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型2综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前 n 项和公式证明见举例说明.设 a， b， c 都是正数，求证： a b c.bca
8、 acb abc证明 因为 a， b， c 都是正数，所以 ， ， 都是正数bcaacb abc所以 2 c，当且仅当 a b 时等号成立，bca acb 2 a，当且仅当 b c 时等号成立，acb abc 2 b，当且仅当 a c 时等号成立abc bca三式相加，得 2 2( a b c)，(bca acb abc)即 a b c，当且仅当 a b c 时等号成立bca acb abc题型 反证法的应用三角度 1 证明否定性命题1(2018株州月考)设 an是公比为 q 的等比数列(1)推导 an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明：数列 an1不是等比数列解 (1)设 an的前 n
9、 项和为 Sn，则7当 q1 时， Sn a1 a1 a1 na1；当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 ，qSn a1q a1q2 a1qn，得，(1 q)Sn a1 a1qn， Sn ，a1 1 qn1 q SnError!(2)证明：假设 an1是等比数列，则对任意的 kN *，(ak1 1) 2( ak1)( ak2 1)，a 2 ak1 1 akak2 ak ak2 1，2k 1a q2k2 a1qk a1qk1 a1qk1 a1qk1 a1qk1 ，21 a10，2 qk qk1 qk1 . q0， q22 q10， q1，这与已知矛盾假设不成立，故 an1不是
10、等比数列角度 2 证明“至多” “至少” “唯一”命题2已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 f(x) M，()方程 f(x) x0 有实数根；()函数 f(x)的导数 f( x)满足 0f( x)1.(1)判断函数 f(x) 是不是集合 M 中的元素，并说明理由；x2 sinx4(2)集合 M 中的元素 f(x)具有下面的性质：若 f(x)的定义域为 D，则对于任意 m， nD，都存在 x0( m， n)，使得等式 f(n) f(m)( n m)f( x0)成立试用这一性质证明：方程 f(x) x0 有且只有一个实数根解 (1)当 x0 时， f(0)0，所以方程 f(x) x
11、0 有实数根为 0；因为 f( x) cosx，所以 f( x) ，12 14 14， 34满足条件 0f( x)1.由可得，函数 f(x) 是集合 M 中的元素x2 sinx4(2)证明：假设方程 f(x) x0 存在两个实数根 ， ( )，则 f( ) 0， f( ) 0.不妨设 ，根据题意存在 c( ， )满足 f( ) f( )( )f( c)因为 f( ) ， f( ) ，且 ，所以 f( c)1.与已知 0f( x)1 矛盾又 f(x) x0 有实数根，所以方程 f(x) x0 有且只有一个实数根1反证法证明问题的三步骤82反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“
12、至少” “至多” “唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1已知 xR， a x2 ， b2 x， c x2 x1，试证明 a， b， c 至少有一个不小于121.证明 假设 a， b， c 均小于 1，即 a1， b1， c1，则有 a b c3，而 a b c2 x22 x 3122 233，(x12)两者矛盾，所以假设不成立，故 a， b， c 至少有一个不小于 1.2已知四棱锥 S ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB SD ， SA1.2(1)求证： SA平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于 S， C 的点 F，使得 BF平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由解 (1)证明：由已知得 SA2 AD2 SD2，9所以 SA AD.同理 SA AB.又 AB AD A，所以 SA平面 ABCD.(2)假设在棱 SC 上存在异于 S， C 的点 F，使得 BF平面 SAD.因为 BC AD， BC平面 SAD.所以 BC平面 SAD.而 BC BF B，所以平面 FBC平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，所以假设不成立所以不存在这样的点 F，使得 BF平面 SAD.
