1、1第 3 讲 合情推理与演绎推理考纲解读 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理(重点)2.掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理3.弄清推理的一般步骤：实验、观察、比较；概括、联想、类推、推广；猜想新结论考向预测 从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查. 预测 2020 年将会考查归纳猜想及类比推理的应用. 题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.1推理(1)定义：根据一个或几个 已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程就是推理01 02 (2)分类：推理一般分为 合情推理和 演绎推理03 04 2合情
2、推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 归纳类比，然后01 提出 猜想的推理叫做合情推理02 (2)分类：数学中常用的合情推理有 归纳推理和 类比推理03 04 (3)归纳和类比推理的定义、特征23演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到 特殊的推理01 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )(2)由平面三角形的性质推测空
3、间四面体的性质，这是一种合情推理( )(3)ax y axay与 sin( )类比，则有 sin( )sin sin .( )(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知 a 是三角形一边的长， h 是该边上的高，则三角形的面积是 ah，如果把扇12形的弧长 l，半径 r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为 lr；由1211 2,132 2,1353 2，可得到 135(2 n1) n2，则两个推理过程分别属于( )A类比推理、归纳推理 B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理 D归纳推理、演绎推
4、理答案 A3解析 由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；由特殊到一般，此种推理为归纳推理(2)正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案 C解析 f(x)sin( x21)不是正弦函数(3)已知数列 an中， a11， n2 时， an an1 2 n1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想 an的表达式是( )A an3 n1 B an4 n3C an n2 D an3 n1答案 C解析 a11， a24， a39， a416，猜想
5、an n2.(4)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_” ，这个类比命题的真假性是_答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题解析 由类比推理可知题型 类比推理一1等差数列 an的公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 为等差数列，公差为 .类Snn d2似地，若各项均为正数的等比数列 bn的公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则等比数列 的nTn公比为( )A. B q2 C. D.q2 q nq答案 C解析 在等差数列 an中前 n 项的和为 Sn的通项，且可写成 a1( n1) .所以在等比数列 bn中应研究
6、前 n 项的积为 Tn的开 n 次Snn d2方的形式类比可得 b1( )n1 ，其公比为 .nTn q q2在平面几何中， ABC 的 C 的平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 .把这个结论ACBC AEBE类比到空间：在三棱锥 A BCD 中(如图)，平面 DEC 平分二面角 A CD B 且与 AB 相交于E，则得到类比的结论是_4答案 AEEB S ACDS BCD解析 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 .AEEB S ACDS BCD1类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：类比的定义：如等差、等比数列的定义；类
7、比的性质：如椭圆、双曲线的性质；类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球(2)四个原则长度类比面积；面积类比体积；平面类比空间；和类比积，差类比商见举例说明2类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相
8、等 (2018厦门模拟)已知圆： x2 y2 r2上任意一点( x0， y0)处的切线方程为5x0x y0y r2.类比以上结论，有双曲线 1 上任意一点( x0， y0)处的切线方程为x2a2 y2b2_答案 1x0xa2 y0yb2解析 设圆上任一点为( x0， y0)，把圆的方程中的 x2， y2替换为 x0x， y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线 1 上任一点为( x0， y0)，则切线方程为x2a2 y2b2 1(这个结论是正确的，证明略)x0xa2 y0yb2题型 归纳推理二角度 1 与数字有关的归纳推理1从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架
9、在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A2018 B2019 C2020 D2021答案 D解析 根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为 a，则第二层的三个数为a7， a8， a9，第三层的五个数为 a14， a15， a16， a17， a18，这九个数之和为 a3 a245 a809 a104.由 9a1042021，得 a213，是自然数，故选 D.角度 2 与式子有关的归纳推理2(2016山东高考)观察下列等式：2 2 12；(sin 3) (sin23) 432 2 2 2 23；(sin 5) (sin25) (sin35) (sin4
10、5) 432 2 2 2(sin 7) (sin27) (sin37) (sin67)6 34；432 2 2 2(sin 9) (sin29) (sin39) (sin89) 45；43照此规律，2 2 2 2 _.(sin2n 1) (sin22n 1) (sin32n 1) (sin2n2n 1)答案 4n n 13解析 观察前 4 个等式，由归纳推理可知2 2 2(sin2n 1) (sin22n 1) (sin2n2n 1) n(n1) .43 4n n 13角度 3 与图形有关的归纳推理3分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为
11、解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图若记图(2)中第 n 行黑圈的个数为 an，则a2019_.答案 32018 12解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，第 4 行的白圈数为 25414，黑圈数为 52413，所以第 4 行的“坐标”为(14,13)，同理可得第 5 行的“坐标”为(41,40)，第 6 行的“坐标”为(122,121)，.各
12、行黑圈数乘 2，分别是 0,2,8,26,80，即11，31，91,271,811，所以可以归纳出第 n 行的黑圈数an (nN *)，所以 a2019 .3n 1 12 32018 127归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见举例说明 1.(2)与式子有关的归纳推理与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解与数列有关的推理通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见举例说明 3.
13、1观察下列各式：5 53125,5 615625,5 778125,5 8390625,5 91953125，则52019的末四位数字为( )A3125 B5625 C0625 D8125答案 D解析 5 53125,5 615625,5 778125,5 8390625,5 91953125，可以看出这些幂的最后 4 位是以 4 为周期变化的，20194504 余 3，5 2019的末四位数字与 57的后四位数相同，是 8125.2观察下列不等式：133 2，13232 2 4，13333 2 6，照此规律，第 n1( n2， nN *)个不等式是_答案 13( n1)3( n1) 2 2n
14、2解析 根据所给不等式易归纳推理出第 n(nN *)个不等式是 13 n3 n2 2n，所以可以归纳推测出第 n1( n2， nN *)个不等式是 13( n1)3( n1) 2 2n2 .3地震后需搭建简易帐篷，搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图、图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要_根钢管答案 838解析 由题意可知，图的单顶帐篷需要(17011)根钢管，图的帐篷需要(17111)根钢管，图的帐篷需要(17211)根钢管，所以串 7 顶这样的帐篷需要1761183(根)钢管题型 演绎推理三数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11， an1 Sn(nN *
15、)证明：n 2n(1)数列 是等比数列；Snn(2)Sn1 4 an.证明 (1) an1 Sn1 Sn， an1 Sn，n 2n( n2) Sn n(Sn1 Sn)，即 nSn1 2( n1) Sn. 2 ，又 10，(小前提)Sn 1n 1 Snn S11故 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论)Snn(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 4 (n2)，Sn 1n 1 Sn 1n 1 Sn1 4( n1) 4 Sn1Sn 1n 1 n 1 2n 14 an(n2)，(小前提)又 a23 S13， S2 a1 a21344 a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有
16、 Sn1 4 an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合 M 的所有元素都具有性质 P， S 是 M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质 P.(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f f 成立(32 x) (32 x)证明 y f(x)是周期函数，并指出其周期9证明 由 f f ，且 f( x)(32 x) (32 x) f(x)，知 f(3 x) f f f( x) f(x)，所以 y f(x)32 (32 x) 32 (32 x)是周期函数，且 T3 是其一个周期
