1、1第 2 讲 数系的扩充与复数的引入考纲解读 1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件(重点)2.了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示3.能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容. 预测 2020 年将会考查：复数的基本概念与四则运算；复数模的计算；复数的几何意义. 题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.1复数的有关概念22复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与
2、复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR)01 (2)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 .OZ 3复数代数形式的四则运算(1)运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则3(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3C，有z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)04 05 (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1， z2， z3C，有z1z2 z2z1，( z1
3、z2)z3 z1(z2z3)， z1(z2 z3) z1z2 z1z3.06 07 08 (4)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义：若复数 z1， z2对应的向量 ， 不共线，则复数 z1 z2是OZ1 OZ2 所对应的复数09 OZ1 OZ2 复数减法的几何意义：复数 z1 z2是 即 所对应的复数10 OZ1 OZ2 Z2Z1 4模的运算性质：| z|2| |2 z ；| z1z2| |z1|z2|； .z 01 z 02 |z1z2| 03 |z1|z2|1概念辨析(1)关于 x 的方程 ax2 bx c0( a， b， cR 且 a0)一定有两个根( )(2)若复数 a bi 中
4、 a0，则此复数必是纯虚数( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )4答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)(2017全国卷) ( )3 i1 iA12i B12i C2i D2i答案 D解析 2i.故选 D.3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 4 2i2(2)(2018北京高考)在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )11 iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案 D解析 设复数 z i，所以 z 的共轭复11 i 1 i 1 i 1 i 1
5、i1 i2 1 i2 12 12数 i， 对应的点为 ，位于第四象限z12 12 z (12， 12)(3)(2018华南师大附中一模)在复平面内，复数 zcos3isin3(i 为虚数单位)，则|z|为( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 | z| 1.cos23 sin23(4)设复数 z12i， z2 a2i(i 为虚数单位， aR)，若 z1z2R，则 a_.答案 4解析 因为 z1z2(2i)( a2i)2 a2(4 a)i，且 z1z2是实数，所以 4 a0 即 a4.题型 复数的有关概念一1设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m( )A1
6、 B1 C2 D2答案 C解析 因为 m2 m2( m21)i 是纯虚数，所以Error! 解得 m2.2若(1i)(23i) a bi(a， bR，i 是虚数单位)，则 a， b 的值分别等于( )A3，2 B3,2 C3，3 D1,4答案 A5解析 因为(1i)(23i)32i a bi，所以 a3， b2.3(2018合肥一检)设 i 为虚数单位，复数 z 的虚部是( )1 i3 iA. B C1 D115 15答案 B解析 复数 z i，则 z 的虚部为 . 1 i 3 i 3 i 3 i 4 2i10 25 15 154(2018全国卷)设 z 2i，则| z|( )1 i1 iA0
7、 B. C1 D.12 2答案 C解析 因为 z 2i 2i 2ii，所以1 i1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i2|z| 1，故选 C.0 12有关处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为 a bi(a， bR)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.1(2019安徽安庆模拟)设 i 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部相等，那么实a i2 i数 a 的值为( )A. B C3 D313 13答案 C解析 ，由题意知 2a1 a2，解得 a3.故选 C.a i2
8、i 2a 1 a 2 i52已知集合 AN， B xR| z3 xi，且| z|5(i 为虚数单位)，则A B_.答案 4解析 因为| z| 5，所以 x4，32 x2所以 B4,4，所以 A B43(2017浙江高考)已知 a， bR，( a bi)234i(i 是虚数单位)，则a2 b2_， ab_.6答案 5 2解析 因为( a bi)2 a2 b22 abi.由( a bi)234i，得Error!解得 a24， b21.所以 a2 b25， ab2.题型 复数的几何意义二1(2019福州质检)设复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z12i，则( )z1z2A1i B.
9、 i35 45C1 i D1 i45 43答案 B解析 因为复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z12i，所以z22i，所以 i，故选 B.z1z2 2 i2 i 2 i 25 35 452若复数 z 在复平面内对应的点在直线 y x 上，则 z ( )a 2i2 zA1 B2 C1 D2答案 B解析 因为 z i，a 2i2 a2且 z 在复平面内对应的点 在直线 y x 上，(a2， 1)所以1 ， a2，a2所以 z (1i)(1i)1i 22.z3若复数 z 满足| z|1；| zi|12i|，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_答案 4解析 设 z x yi(x，
10、 yR)，由| z|1 及| zi|12i|易得 x2 y21 及x2( y1) 25 知 z 在复平面内对应图形的面积为 54.条件探究 1 把举例说明 1 中的“实轴”改为“虚轴” ，求 z1z2.解 因为复数 z1， z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， z12i，所以 z22i.所以 z1z2(2i)(2i)i 22 25.条件探究 2 将举例说明 1 中 z1对应的向量 绕点 O 逆时针旋转 90，得 z2对应的OZ1 7向量 ，试求 .OZ2 z1z2解 如图所示，z12i， z212i，所以 z1z2 2 i 1 2i i. 2 i 1 2i5复数几何意义及应用1复数 z、复平面
11、上的点 Z 及向量 相互联系，即 z a bi(a， bR) Z(a， b)OZ .OZ 2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观提醒：| z|的几何意义：令 z x yi(x， yR)，则| z| ，由此可知表示复数x2 y2z 的点到原点的距离就是| z|的几何意义；| z1 z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1， z2的两点之间的距离.1在复平面内，若 O(0,0)， A(2，1)， B(0,3)，则在 OACB 中，点 C 所对应的复数为( )A22i B22i C1i D1i答案 A解析
12、 在 OACB 中， (2，1)(0,3)(2,2)，所以点 C 所对应的复数OC OA OB 为 22i.2如图所示的网格纸中小正方形的边长是 1，复平面内点 Z 对应的复数 z 满足(z1i) z1，则复数 z1( )8A i25 45B. i25 45C. i25 45D i25 45答案 B解析 由图可知 z2i，因为( z1i) z1，所以 z1 i i i i.1z 12 i 2 i5 25 45题型 复数的四则运算三角度 1 复数的加、减、乘、除运算1(1)(2018天津高考)i 是虚数单位，复数 _；6 7i1 2i(2)已知 i 是虚数单位， 8 2018_.(1 i1 i)
13、 ( 21 i)答案 (1)4i (2)1i解析 (1) 4i.6 7i1 2i 6 7i 1 2i 1 2i 1 2i 20 5i5(2)原式 8 1009i 8 1009i 8i 10091i 42521 1i.(1 i1 i) ( 21 i)2 ( 2 2i)角度 2 复数四则运算的综合应用2若复数(1i)(cos isin )在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是_答案 ， kZ(2k 34， 2k 54)9解析 (1i)(cos isin )(cos sin )(sin cos )i，此复数在复平面内对应的点为(cos sin ，sin cos )由题意得Error!角
14、终边所在的区域如图所示所以 2k 2k ， kZ.34 541复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2) i；1 i1 i(3) i；1 i1 i(4) b ai；a bii(5)i4n1，i 4n1 i，i 4n
15、2 1，i 4n3 i( nN).101(2018太原二模) ( ) 2 i 1 i 21 2iA2 B2 C. D13 13答案 A解析 2 i 1 i 21 2i 2 i 2i1 2i 2. 4i 21 2i 2 1 2i1 2i2若复数 z 满足(12i) z1i，则| |( )zA. B. C. D.25 35 105 10答案 C解析 z ，| | z| .1 i1 2i z |1 i|1 2i| 25 1053复数 zcos75isin75(i 是虚数单位)，则在复平面内， z2对应的点位于第_象限答案 二解析 z2(cos75isin75) 2(cos 275sin 275)(2sin75cos75)icos150isin150 i，其对应的点 位于第二象限32 12 ( 32， 12)
