1、1第 10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第 9讲A组 基础关1(2018广西南宁模拟)设随机变量 X N(5， 2)，若 P(X10 a)0.4，则P(X a)( )A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案 A解析 因为随机变量 X N(5， 2)，所以 P(X5) P(X5)因为 P(X10 a)0.4，所以 P(X a)1 P(X a)10.40.6.故选 A.2已知随机变量 X Y8，若 X B(10,0.6)，则 E(Y)， D(Y)分别是( )A6 和 2.4 B2 和 2.4C2 和 5.6 D6 和 5.6答案 B解析 由已知随机变量 X Y8，所以 Y8 X.因此，求
2、得 E(Y)8 E(X)8100.62， D(Y)(1) 2D(X)100.60.42.4.故选 B.3(2018浙江嘉兴适应性训练)随机变量 X的分布列如下表，且 E(X)2，则D(2X3)( )A2 B3 C4 D5答案 C解析 p1 ，16 13 12E(X)0 2 a 2 a3，16 12 13 D(X)(02) 2 (22) 2 (32) 2 1.16 12 13 D(2X3)2 2D(X)4.4(2018 潍坊模拟)我国成功申办 2022年第 24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度 服从正态分布(100， 2)( 0)，若 在
3、(80,120)内的概率为 0.7，则他的速度超过 120的概率为( )A0.05 B0.1 C0.15 D0.2答案 C解析 由题意可得， 100，且 P(80 120)0.7，2则 P( 80 或 120)1 P(80 120)10.70.3， P( 120) P( 80 或 120)0.15.12则他的速度超过 120的概率为 0.15.5有 10件产品，其中 3件是次品，从这 10件产品中任取两件，用 表示取到次品的件数，则 E( )等于( )A. B. 35 815C. D11415答案 A解析 服从超几何分布 P( x) (x0,1,2)，Cx3C2 x7C210则 P( 0) ，
4、C27C210 2145 715P( 1) ，C17C13C210 715P( 2) .C23C210 115故 E( )0 1 2 .故选 A.715 715 115 356某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得 A等级的概率分别为 ，45，且三门课程的成绩是否取得 A等级相互独立记 为该生取得 A等级的课程数，其3525分布列如下表所示，则数学期望 E( )的值为( ) 0 1 2 3P 6125 a b 24125A. B. 39125 59C. D195答案 C解析 学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得 A等级有以下三种情况：政、史；政、地；地、史，
5、P( 2) .(145) 35 25 45 (1 35) 25 45 35 (1 25) 58125根据分布列的性质可得， P( 1)1 P( 0) P( 2) P( 3)1 6125 .58125 24125 371253E( )0 1 2 3 ，故选 C.6125 37125 58125 24125 225125 957已知抛物线 y ax2 bx c(a0)的对称轴在 y轴的左侧，其中a， b， c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中记随机变量 “| a b|的取值” ，则 的数学期望 E( )为( )A. B. 89 35C. D.25 13答案 A解析 由于对称轴在 y轴左侧，
6、故 0，故 a， b同号，基本事件有b2a3372126， 的可能取值有 0,1,2三种 P( 0) ， P( 1)67126 13 ， P( 2) ，故期望值为 0 1 2 ，故选 A.87126 49 47126 29 13 49 29 898甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 ， ，其分布列分别为： 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2P 0.3 0.5 0.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_答案 乙解析 甲、乙的均值分别为 E( )00.410.320.230.11，E( )00.310.520.20.9，所以 E( )E
7、( )，故乙的技术较好9设平面上的动点 P(1， y)的纵坐标 y等可能地取2 ， ，0， ，2 ，用 2 3 3 2表示点 P到坐标原点的距离，则随机变量 的数学期望 E( )_.答案 115解析 由题意，随机变量 的值分别为 3,2,1，则随机变量 的分布列为 1 2 3P 15 25 25所以随机变量 的数学期望E( ) 1 2 3 .15 25 25 11510一个人将编号为 1,2,3,4的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4的四个盒子中，每4个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了设放对的个数为 ，则 的期望值为_答案 1解析 将四个小球放入四个盒子
8、，每个盒子放一个小球，共有 A 种不同放法，放对的4个数 可取的值有 0,1,2,4.其中， P( 0) ， P( 1) ， P( 2)9A4 38 C142A4 13 ， P( 4) ，C24A4 14 1A4 124所以 E( )0 1 2 4 1.38 13 14 124B组 能力关1(2018浙江高考)设 0 p1，随机变量 的分布列是则当 p在(0,1)内增大时，( )A D( )减小 B D( )增大C D( )先减小后增大 D D( )先增大后减小答案 D解析 由分布列可知 E( )0 1 2 p ，所以方差 D( )1 p2 12 p2 122 2 2 p2 p ，所以 D(
9、)是关于 p的二(0 p12) 1 p2 (1 p 12) 12 (2 p 12) p2 14次函数，开口向下，所以 D( )先增大后减小2(2018潍坊二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6座以下私家车投保交强险的基准保费为 a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费基准保费(1与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：5为了解某一品牌普通 6座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 20 10 10 38
10、20 2若以这 100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A a元 B0.958 a元 C0.957 a元 D0.956 a元答案 D解析 设 X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，由题意可知 X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a， a,1.1a,1.3a.由统计数据可知P(X0.9 a)0.2， P(X0.8 a)0.1，P(X0.7 a)0.1， P(X a)0.38，6P(X1.1 a)0.2， P(X1.3 a)0.02.所以 X的分布列为X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3aP 0.2 0
11、.1 0.1 0.38 0.2 0.02E(X)0.9 a0.20.8 a0.10.7 a0.1 a0.381.1 a0.21.3 a0.020.956 a(元)3(2018吉林三模)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分) X服从正态分布 N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩 ，记该同学的成绩 90 110 为事件A，记该同学的成绩 80 100 为事件 B，则在 A事件发生的条件下 B事件发生的概率P(B|A)_.(结果用分数表示)附： X满足： P( X )0.6826； P( 2 X 2 )0.9544； P( 3 X 3 )0.9974.答案 13594772解析
12、 由题意， P(A)0.4772， P(B) (0.99740.6826)0.1574， P(AB)12 (0.95440.6826)0.1359.12 P(B|A) .0.13590.4772 135947724(2018惠州二模)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加 10分，背诵错误减 10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率 p ，记该班级完成 n首背诵23后的总得分为 Sn.(1)求 S620 且 Si0( i1,2,3)的概率；(2)记 | S5|，求 的分布列及数学期望解 (1)当 S620
13、时，即背诵 6首后，正确的有 4首，错误的有 2首由 Si0( i1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余 4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余 3首可任意背诵正确2首则所求的概率 P 2C 2 2 C 2 .(23) 24(23) (13) 23 13 23 23(23) 13 1681(2)由题意知 | S5|的所有可能的取值为 10,30,50，又 p ，23 P( 10)C 3 2C 2 3 ，35(23) (13) 25(23) (13) 4081P( 30)C 4 1C 1 4 ，45(23) (13) 15(23) (13)
14、30817P( 50)C 5 0C 0 5 ，5(23) (13) 05(23) (13) 1181 的分布列为 10 30 50P 4081 3081 1181 E( )10 30 50 .4081 3081 1181 185081C组 素养关1(2017全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查 A， B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 14 20 20 16 15 10 5(1
15、)从出租天数为 3天的汽车(仅限 A， B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率；(3)试写出 A， B两种车型的出租天数的分布列及均值；如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A， B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由解 (1)这辆汽车是 A型车的概率约为 P 0.6，3030 20故这辆汽车是 A型车的概率为 0.6.(2)设“事件 Ai表示一辆 A型车在一周内出租天数恰好为 i天” ， “事件 Bj表示
16、一辆 B型车在一周内出租天数恰好为 j天” ，其中 i， j1,2,3，7，则该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率为P(A1B3 A2B2 A3B1) P(A1B3) P(A2B2) P(A3B1) P(A1)P(B3) P(A2)P(B2) P(A3)P(B1) ，5100 20100 10100 20100 30100 14100 9125故该公司一辆 A型车，一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率为 .9125(3)设 X为 A型车出租的天数，则 X的分布列为8X 1 2 3 4 5 6 7P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0
17、.03 0.02设 Y为 B型车出租的天数，则 Y的分布列为X 1 2 3 4 5 6 7P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一辆 A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62天， B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.48天，故选择 A类型的出租车更加合理2(2018安徽阜阳月考)从某市的高一学生中随机抽取 400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图(
18、1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重 X服从正态分布 N(57， 2)利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于 5457 kg 之间的概率；从该市高一学生中随机抽取 3人，记体重介于 5457 kg之间的人数为 Y，利用(1)的结论，求 Y的分布列及 E(Y)解 (1)这 400名学生中，体重超过 60 kg的频率为(0.040.01)5 ，14由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg的概率为 .14(2) X N(57， 2)，由(1)知 P(X60) ，14 P(X54) ，14 P(54X60)12 ，14 12 P(54X57) ，12 12 149即高一某个学生体重介于 5457 kg 之间的概率是 .14因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取 3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于 5457 kg 之间的人数 Y B ，(3，14)P(Y i)C i 3 i， i0,1,2,3.i3(14)(34) Y的分布列为Y 0 1 2 3P 2764 2764 964 164E(Y)3 .14 34
