1、1第 6 讲 几何概型考纲解读 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测 2020 年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例，那么称01 这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点3几何概型的概率公式P(A) .01 构 成 事 件 A的
2、 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 1概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率( )(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )2答案 A
3、解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A) ， P(B) ， P(C) ， P(D) ，38 28 26 13所以 P(A)P(C) P(D)P(B)故选 A.(2)(2016全国卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是( )A. B. 13 12C. D.23 34答案 B解析 解法一：7：30 的班车小明显然是坐不到的当小明在 7：50 之后 8：00 之前到达，或者 8：20 之后 8：30 之前到达时，他等车的时间将不超
4、过 10 分钟，故所求概率为 .故选 B.10 1040 12解法二：当小明到达车站的时刻超过 8：00，但又不到 8：20 时，等车时间将超过 10分钟，7：508：30 的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1 .故选 B.2040 12(3)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在 yOT 内的概率为_3答案 16解析 根据题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA 落在 yOT 内的概率为 .6036016(4)如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，有一
5、动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A A1BD 内的概率为_答案 16解析 设事件 M 为“动点在三棱锥 A A1BD 内” ，则 P(M)V三 棱 锥 A A1BDV长 方 体 ABCD A1B1C1D113AA1S ABDV长 方 体 ABCD A1B1C1D1 .13AA112S矩 形 ABCDAA1S矩 形 ABCD 16题型 与长度(角度)有关的几何概型一1在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log 1”发生的概率为( )12(x 12)A. B. 34 23C. D.13 14答案 A 解析 不等式1log 1 可化为 log 2log log ，即12(x 12
6、)1212(x 12)12124 x 2，解得 0 x ，故由几何概型的概率公式得 P .12 12 32 32 02 0 342如图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于点 M，则使得 AM小于 AC 的概率为_答案 34解析 当 AM AC 时， ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形， ACM 67.5.当 ACM67.5时， AM AC，所以 AM 小于 AC 的概率 P180 452 . ACM的 度 数 ACB的 度 数 67.590 34条件探究 1 把举例说明 1 的条件“1log 1”改为“使函数 y 有意12(x 12)义” ，试求其概率解
7、 由 log (4x3)0 得 04 x31，即 x ，由几何概型的概率公式，得12 (34， 1P .1 342 0 18条件探究 2 把举例说明 1 的条件“1log 1”改为“22 4” ，试求其12(x 12) 概率解 由 22 4 得 1 x 2，即 x ，由几何概型的概率公式，得 12 12， 32P .32 122 0 121与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题5与时间、不等式及其
8、解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 1已知函数 f(x) x33 x2，在区间(2,5)上任取一个实数 x0，则 f( x0)0 的概率为_答案 27解析 因为 f( x)3 x26 x3 x(x2)，所以由 f( x0)0，解得 0 x02.由几何概型的概率计算公式得f( x0)0 的概率 P .2 05 2 272如图，四边形 ABCD 为矩形， AB ， BC1，以 A 为圆心，1 为半径作四
9、分之一个3圆弧 ，在 DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 .DE 答案 13解析 因为在 DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“ DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是 DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在 CAB 内，区域为 CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 . CAB DAB 309013题型 与面积有关的几何概型二角度 1 与随机模拟相关的几何概型1(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数6x1， x2， xn， y1， y2， yn，构成 n 个数对( x1，
10、y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( )A. B. 4nm 2nmC. D.4mn 2mn答案 C解析 如图，数对( xi， yi)(i1,2， n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得 .故选 C.mn 1412 4mn角度 2 与平面图形面积有关的问题2(2018全国卷)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三
11、角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC. ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A p1 p2 B p1 p3C p2 p3 D p1 p2 p3答案 A解析 不妨取 AB AC2，则 BC2 ，所以区域的面积为 S ABC2；区域的面积2为 2；区域的面积为 (2)2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1 p2，故选 A.角度 3 与线性规划有关的几何概型3在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于 的概率是( )657A. B. 1225 1625C. D.1725 1825答
12、案 C解析 设这两个数分别是 x， y，则总的基本事件构成的区域是Error!确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是Error!确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是 1 2 ，所以这两个数之和小于 的概率是 .12 (45) 1725 65 1725角度 4 与定积分有关的几何概型4(2015福建高考)如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数 f(x) x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案 512解析 由题图可知 S 阴影 S 矩形 ABCD x2dx14 4 ，则所求事件的21 x3321 (83
13、13) 53概率 P .S阴 影S矩 形 ABCD 534 5121与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路8利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见举例说明 1、2.2与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率见举例说明 3.3与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率见举例说明 4.1(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色
14、部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. 14 8C. D.12 4答案 B解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1， S 正方形 4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 S 圆12 ，所以由几何概型知所求概率 P .故选 B. 2 S黑S正 方 形 24 82(2018枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成
15、的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )9A. B. 316 38C. D.14 18答案 C解析 把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是 .143如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，1)， B( ，1)， C( ，1)，D(0,1)，正弦曲线 f(x)sin x 和余弦曲线 g(x)cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A. B. 1 2 1 22C. D.1 12答案 B10解析 由题图可知矩形 ABCD 的面积为 2 ，由 sinxco
16、s x 得 xF ，故阴影部分的 4面积为所以点落在阴影区域内的概率 P .1 224已知向量 a(2,1)， b( x， y)若 x1,2， y1,1，求向量 a， b 的夹角是钝角的概率解 设“ a， b 的夹角是钝角”为事件 B，由 a， b 的夹角是钝角，可得ab0，即 2x y0，且 x2 y.基本事件为Error!所表示的区域，BError! ，如图，区域 B 为图中阴影部分去掉直线 x2 y0 上的点，所以，P(B) ，12(12 32)232 13即向量 a， b 的夹角是钝角的概率是 .13题型 与体积有关的几何概型三某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点
17、，则点落在四面体内的概率为( )11A. B. 913 113C. D.913169 13169答案 C解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为 3 的等腰直角2三角形，高为 4，所以该三棱锥的体积为 12，又外接球的直径 2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即 2r 2 ，所以球的体积为42 32 2 32 2 13，所以点落在四面体内的概率为 .52133 1252133 913169与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 体 积试 验 的 全
18、部 结 果 所 构 成 的 区 域 体 积求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥M ABCD 的体积小于 的概率为_1612答案 12解析 过 M 作平面 RS平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 M ABCD 的高，显然 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 M ABCD 的体积都相等若此时四棱锥 M ABCD 的体积等于.只要 M 在截面以下即可小于 ，当 VM ABCD 时，即 11h ，解得 h ，即点 M16 16 16 13 16 12到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P .1112111 12
