1、1第 5 讲 古典概型考纲解读 1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基本事件及其事件发生的概率(重点、难点)2.了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一. 预测 2020 年将会考查：古典概型的基本计算；古典概型与其他知识相结合. 题型以解答题的形式呈现，与实际背景相结合，试题难度中等.1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是 互斥的01 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件的和02 2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个
2、01 (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等02 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率01 1nP(A) .02 mn4古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数1概念辨析(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽” ( )2(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面” ，这三
3、个结果是等可能事件( )(4)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )A. B. 25 415C. D.35 23答案 A解析 由题意得，取到白球的概率为 P .615 25(2)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于 5 的概率为( )A. B. 13 12C. D.23 56答案 B解析 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3
4、)，(2,4)，(3,4)共 6 个基本事件，其中这两个数字之积小于 5 的有(1,2)，(1,3)，(1,4)共 3个基本事件，则这两个数字之积小于 5 的概率为 P .故选 B.36 12(3)从 5 名医生(3 男 2 女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选 1 名男医生和 1 名女医生的概率为( )A. B. 110 25C. D.12 35答案 D解析 从 5 名医生中选派两名医生的基本事件总数 nC 10，恰选 1 名男医生和 125名女医生的基本事件 mC C 6，所以所求事件概率 P .故选 D.1312610 35(4)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一
5、行，则 2 本数学书相邻的概率为( )A. B. 12 13C. D.23 563答案 C解析 所有可能的排列方法有 A 6 种，2 本数学书相邻的排列方法有 A A 4 种3 2 2(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)所以根据概率的计算公式，所求概率为 .故选 C.46 23题型 古典概型的简单问题一1(2018全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为( )A0.6 B0.5 C0.4 D0.3答案 D解析 设 2 名男同学为 A1， A2,3 名女同学为 B1， B2， B3，从以上 5 名同学中任选 2 人总
6、共有 A1A2， A1B1， A1B2， A1B3， A2B1， A2B2， A2B3， B1B2， B1B3， B2B3共 10 种可能，选中的2 人都是女同学的情况共有 B1B2， B1B3， B2B3共 3 种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 P 0.3.故选 D.3102(2017全国卷)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. 110 15C. D.310 25答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为
7、 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P .故选 D.1025 253(2018沈阳模拟)将 A， B， C， D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“ A 与4B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是( )A. B. 12 14C. D.16 18答案 B解析 A， B， C， D 4 名同学排成一排有 A 24 种排法当 A， C 之间是 B 时，有4224 种排法，当 A， C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求概率为 .4 224 14条件探究 把举例说明 2 的条件“放回后”改为“不放回” ，其他条件不变，结果又如何？解
8、画出树状图如图：所有的基本事件共有 20 个，满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P .1020 12结论探究 举例说明 2 条件不变，求抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上的数的和为偶数的概率解 所有基本事件共有 25 个，满足条件的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 13 个故所求概率 P .13251求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；(2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数
9、m；(3)利用公式 P(A) ，求出事件 A 的概率mn2基本事件个数的确定方法51用两个字母 G， A 与十个数字 0,1,2，9 组成 5 位的车牌号码，两个字母不能重复，且每个号码中都包含这两个字母其中两个字母排在前两位的概率为( )A. B. 120 110C. D.15 12答案 B解析 总的基本事件的个数为 A 103，其中两个字母排在前两位的情况有 A 103，25 2由古典概型的概率公式，得 P .A2103A25103 2154 1102在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，以 为概率的事件是710( )A都不是一等品 B恰有 1 件一等品C至
10、少有 1 件一等品 D至多有 1 件一等品答案 D解析 从 5 件产品中任取 2 件有 10 种取法，设 3 件一等品为 1,2,3；2 件二等品为4,5.这 10 种取法是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中 2 件均为一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 种所以至多有 1 件一等品的概率 P1 .310 710题型 古典概型的交汇问题二6角度 1 古典概型与平面向量相结合1设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，平面向量 a( m， n)， b(1，3)(1)求使得事件“ a b
11、”发生的概率；(2)求使得事件“| a| b|”发生的概率解 由题意知， m1,2,3,4,5,6， n1,2,3,4,5,6，故( m， n)所有可能的取法共有 36 种(1)若 a b，则有 m3 n0，即 m3 n，符合条件的( m， n)有(3,1)，(6,2)，共 2 种，所以事件“ a b”发生的概率为 .236 118(2)若| a| b|，则有 m2 n210，符合条件的( m， n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，故所求概率为 .636 16角度 2 古典概型与函数、方程相结合2(2019河北武邑中学模拟)已知 a2,0,
12、1,3,4， b1，2，则函数 f(x)( a22) x b 为增函数的概率是( )A. B. 25 35C. D.12 310答案 B解析 从集合2,0,1,3,4中任选一个数有 5 种选法，使函数 f(x)( a22) x b 为增函数的是 a220，解得 a 或 a0，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所
13、以所求事件的概率为 .69 232在集合 A2,3中随机取一个元素 m，在集合 B1,2,3中随机取一个元素 n，得到点 P(m， n)，则点 P 在圆 x2 y29 内部的概率为_答案 13解析 点 P(m， n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6 种情况，只有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x2 y29 的内部，所求概率为 .26 133已知 (1， k)， (4,2)，| |5， kZ，则 ABC 是钝角三角形的概率为AB AC AB _答案 59解析 因为| | 5，所以2 k2 .AB 1 k2 6 6又因为 kZ，所以 k0，1，
14、2，3，4.9因为 (3,2 k)，BC AC AB 若 8(舍去)所求概率为 .CA CB 594(2018吉林省梅河口五中二模)某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有 2 个红球，1 个黄球和 1 个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同)，从中随机一次性取 2 个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱活动另附说明如下：凡购物满 100(含 100)元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；凡购物满 188(含 188)元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；若取得的 2 个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 10 元的红包；若取得的 2 个小球都不是红球
15、，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 5 元的红包；若取得的 2 个小球只有 1 个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 2 元的红包；抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据(单位：元)，绘制得到如图所示的茎叶图(1)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)；(2)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分)；(3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金 10 元，5 元，2 元的概率解 (1)这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数为 532111.这 20 位顾客中，有 8 位顾客获得一次抽奖的机会，有 3 位顾客获得两次抽奖的机会，故共有 14 次抽奖机会(2)获得抽奖机会的数据的中位数为 110，10平均数为 (101102104108109110112115188189200)111 131.143811(3)记抽奖箱里的 2 个红球为红 1，红 2，从箱中随机取 2 个小球的所有结果为(红 1，红 2)，(红 1，蓝)，(红 1，黄)，(红 2，蓝)，(红 2，黄)，(蓝，黄)，共 6 个基本事件在一次抽奖中获得红包奖金 10 元的概率为 P1 ，16获得 5 元的概率为 P2 ，获得 2 元的概率为 P3 .16 46 23
