1、1题组层级快练(六十)1已知集合 A(x，y)| 1，x，yR，B(x，y)| 1，x，yR，则x29 y24 x3 y2AB 中元素的个数为( )A0 B1C2 D3答案 B解析 集合 A表示双曲线，顶点为(3，0)，其渐近线方程为 0，集合 B表示直线，x3 y2与 x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以AB 中元素的个数为 1.故选 B.2直线 l过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，这样的直线有( )2A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 C解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共 3
2、条3已知 F1，F 2是双曲线 y 21 的左、右焦点，P，Q 为右支上的两点，直线 PQ过 F2且x22倾斜角为 ，则|PF 1|QF 1|PQ|的值为( )A8 B2 2C4 D随 的大小而变化2答案 C解析 由双曲线定义知：|PF1|QF 1|PQ|PF 1|QF 1|(|PF 2|QF 2|)(|PF 1|PF 2|)(|QF 1|QF 2|)4a4 .24等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在 x轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB|4 ，则 C的实轴长为( )3A. B22 2C4 D8答案 C解析 抛物线 y216x 的准线方程是 x4，所以点 A(4，2
3、 )在等轴双曲线3C：x 2y 2a 2(a0)上，将点 A的坐标代入得 a2，所以 C的实轴长为 4.25若直线 xym0 与双曲线 x2 1 交于不同的两点 A，B，且线段 AB的中点在圆y22x2y 25 上，则 m的值为( )A B22C1 D 3答案 C解析 设 A，B 两点的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段 AB的中点为 M(x0，y 0)由得 x22mxm 220(0)，x 0 m，y 0x 0m2m，点x2 y22 1，x y m 0， ) x1 x22M(x0，y 0)在圆 x2y 25 上，m 2(2m) 25，m1.6(2019山东青岛二模)直线
4、 l：x2y50 过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点x2a2 y2b2且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. y 21 Dx 2 1x24 y24答案 A解析 根据题意，令 y0，则 x5，则 c5.又 ，所以 a220，b 25，所以双曲线ba 12的方程为 1.x220 y257已知直线 ykx1 与双曲线 x2 1 交于 A，B 两点，且|AB|8 ，则实数 k的值y24 2为( )A B 或7 3413C D3413答案 B解析 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k2.将 ykx1 代入 x2 1 得(4k 2)y2
5、4x22kx50，则 4k 24(4k 2)50，k 20，b0)的左焦点为 F，离心率为 .若经过 Fx2a2 y2b2 2和 P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y24 x28 y28C. 1 D. 1x24 y28 x28 y24答案 B解析 由 F(c，0)，P(0，4)，得 kPF ，又 e ，所以 e ，所以4c ba 2 ca 1 b2a2 2ab，c4，故 a2b 28，故选 B.11(2019长沙调考)过双曲线 1(ba0)的右顶点 A作斜率为1 的直线，该直x2a2 y2b2线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B，
6、C，若 A，B，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )4A. B.3 5C. D.10 13答案 C解析 由题意可知，经过右顶点 A的直线方程为 yxa，联立 解得 xy bax，y x a， ).联立 解得 x .因为 ba0，所以 0，又点 B的横a2a b y bax，y x a， ) a2a b a2a b a2a b坐标为等比中项，所以点 B的横坐标为 ，则 a ( )2，解得 b3a，所以双a2a b a2a b a2a b曲线的离心率 e .ca a2 b2a 1012(2019山西省实验中学质量监测)若直线 l与双曲线 y 21 相切于点 P，l 与双曲x24线的
7、两条渐近线分别交于 M，N 两点，则 的值为( )OM ON A3 B4C5 D与点 P的位置有关答案 A解析 设切点 P的坐标为(x 0，y 0)，则切线 l的方程为 x0xy 0y1.由双曲线的方程，得14两条渐近线的方程分别为 y x，y x.分别联立切线方程和渐近线方程，得12 12M( ， )，N( ， )， 4x0 2y0 2x0 2y0 4x0 2y0 2x0 2y0 OM ON 12（ x0 2y0） （ x0 2y0）.x 024y 024， 3.故选 A.12x02 4y02 OM ON 12413(2018课标全国)已知双曲线 C： y 21，O 为坐标原点，F 为 C的
8、右焦点，过x23F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|( )A. B332C2 D43答案 B解析 因为双曲线 y 21 的渐近线方程为 y x，所以MON60.不妨设过点 Fx23 33的直线与直线 y x交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设OMN90，则335MFO60，又直线 MN过点 F(2，0)，所以直线 MN的方程为 y (x2)，3由 得 所以 M( ， )，所以|OM| ，y 3（ x 2） ，y 33x， ) x 32，y 32， ) 32 32 （ 32） 2 （ 32） 2 3所以|MN| |OM|3，故选 B.314(2
9、015江苏)在平面直角坐标系 xOy中，P 为双曲线 x2y 21 右支上的一个动点若点 P到直线 xy10 的距离大于 c恒成立，则是实数 c的最大值为_答案 22解析 设 P(x，y)，(x1)，因为直线 xy10 平行于渐近线 xy0，所以 c的最大值为直线 xy10 与渐近线 xy0 之间距离，为 .12 2215(2019山西一模)过双曲线 E： 1(a0，b0)的右焦点，且斜率为 2的直线与x2a2 y2b2E的右支有两个不同的公共点，则双曲线 E的离心率的取值范围是_答案 (1， )5解析 斜率为 2的直线与双曲线 E的右支有两个交点， 1，双曲线 E的离心率的取c2 a2a 5
10、 ca 5值范围是(1， )516已知点 M(2，0)，N(2，0)，动点 P满足条件|PM|PN|2 ，记动点 P的轨迹为 W.2(1)求 W的方程；(2)若 A和 B是 W上的不同两点，O 是坐标原点，求 的最小值OA OB 答案 (1) 1(x ) (2)2x22 y22 2解析 (1)由|PM|PN|2 知动点 P的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴2长 a .2又焦距 2c4，所以虚半轴长 b .c2 a2 2所以 W的方程为 1(x )x22 y22 2(2)设 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)当 ABx 轴时，x 1x 2，y 1y 2，从而
11、 x 1x2y 1y2x 12y 122.OA OB 当 AB与 x轴不垂直时，设直线 AB的方程为 ykxm(k1)，与 W的方程联立，消去 y6得(1k 2)x22kmxm 220，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2km1 k2 m2 2k2 1所以 x 1x2y 1y2x 1x2(kx 1m)(kx 2m)(1k 2)x1x2km(x 1x 2)m 2OA OB m 2 2 .（ 1 k2） （ m2 2）k2 1 2k2m21 k2 2k2 2k2 1 4k2 1又因为 x1x20，所以 k210.所以 2.OA OB 综上所述，当 ABx 轴时， 取得最小值 2.OA OB 17已知
12、圆 C1：(x )2y 2 ，圆 C2：(x )2y 2 ，动圆 P与已知两圆都外切62 258 62 18(1)求动圆的圆心 P的轨迹 E的方程；(2)直线 l：ykx1 与点 P的轨迹 E交于不同的两点 A，B，AB 的中垂线与 y轴交于点N，求点 N的纵坐标的取值范围答案 (1)2x 2y 21(x0) (2)(， )32解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1( ，0)，r 1 ；C 2( ，0)，r 2 .62 524 62 24设动圆 P的半径为 r，由题意知|PC 1|r ，|PC 2|r ，则524 24|PC1|PC 2| 0)(2)将直线 ykx1 代入双曲线方程，并整理，得(k 22)x 22kx20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为 M(x0，y 0)，依题意，直线 l与双曲线的右支交于不同两点，故所以20，x1 x2 2kk2 20，x1x2 2k2 20. ) 2且 x0 ，y 0kx 01 ，则 AB的中垂线方程为 y (x ) kk2 2 2k2 2 2k2 2 1k kk2 2令 x0，得 yN .32 k272k ，y N .232点 N的纵坐标的取值范围为(， )32
