1、1题组层级快练(五十九)1双曲线 1(00，解得m 20，b0)的一条渐近线平行于直线x2a2 y2b2l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l上，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x25 y220 x220 y25C. 1 D. 13x225 3y2100 3x2100 3y225答案 A解析 根据双曲线的渐近线与直线 l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出 c，然后解方程组即可求出 a，b 的值双曲线的渐近线方程为 y x，因为一条渐近线与直线 y2x10 平行，所以 2.ba ba又因为双曲线的一个焦点在直线 y2x10 上，所以2c100，所以 c5.由 得b
2、a 2，c a2 b2 5， ) a2 5，b2 20.)故双曲线的方程为 1.x25 y2207(2019广东七校联考)已知双曲线 C： 1(a0，b0)的右焦点为 F，以 F为圆心x2a2 y2b2和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C的离心率为( )A. B.52 5C. D22答案 C解析 易知双曲线的渐近线方程为 y x，则点 F(c，0)到渐近线的距离为ba b，即圆 F的半径为 b.令 xc，则 yb ，由题意，得 b|bc|a2 b2 bcc c2a2 1 b2a，即 ab，所以双曲线的离心率 e ，故选 C.b2a 1 b2
3、a2 238(2019贵州综合测试二)若双曲线 C： 1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)x2a2 y2b22y 21 相切，则 C的渐近线方程为( )Ay x By x13 33Cy3x Dy x3答案 B解析 由题可知双曲线 C的渐近线方程为 y x，圆心为(2，0)，半径为 1，易知圆心到ba渐近线的距离 d 1，故 4b2a 2b 2，即 3b2a 2，则 ，故双曲线 C的渐近2ba2 b2 ba 33线方程为 y x.选 B.339(2017课标全国，理)已知双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 yx2a2 y2b2x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C的方程为( )52
4、x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23答案 B解析 根据双曲线 C的渐近线方程为 y x，可知 ，又椭圆 1 的焦点坐52 ba 52 x212 y23标为(3，0)和(3，0)，所以 a2b 29 ，根据可知 a24，b 25，所以选 B.10(2019黑龙江海林模拟)已知双曲线 C： 1(a0，b0)，若存在过右焦点 F的x2a2 y2b2直线与双曲线交于 A，B 两点，且 3 ，则双曲线离心率的最小值为( )AF BF A. B.2 3C2 D2 2答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线 C相交于 A，B 两点
5、，且 3 ，故直线与双曲线相AF BF 交只能交于左、右两支，即点 A在左支，点 B在右支，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，右焦点F(c，0)因为 3 ，所以 cx 13(cx 2)，3x 2x 12c，由于 x1a，x 2a，所以AF BF x 1a，3x 23a，故 3x2x 14a，即 2c4a， 2，即 e2，故选 C.ca411(2019贵阳市高三监测)双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、x2a2 y2b2下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e的取值范围是( )A(1， ) B( ，)52 52C(1， )
6、D( ，)54 54答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且“右”区域是x2a2 y2b2 ba不等式组 所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有 1 ，因此题中y bax) 2ba ba12的双曲线的离心率 e ( ，)，选 B.1 （ ba） 2 5212(2019安徽黄山一诊)双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线与直线x2a2 y2b2x2y10 垂直，F 1，F 2为 C的焦点，A 为双曲线上一点若|F 1A|2|F 2A|，则cosAF 2F1等于( )A. B.32 54C. D.55 14答案 C解析 因为双曲线的一条渐近线与直线 x2y
7、10 垂直，所以 b2a.又|F 1A|2|F 2A|，且|F 1A|F 2A|2a，所以|F 2A|2a，|F 1A|4a，而 c25a 2，得 2c2 a，所以5cosAF 2F1 ，故选 C.|F1F2|2 |F2A|2 |F1A|22|F1F2|F2A| 20a2 4a2 16a2225a2a 5513已知曲线方程 1，若方程表示双曲线，则 的取值范围是_x2 2 y2 1答案 1解析 方程 1 表示双曲线，(2)(1)0，解得 1.x2 2 y2 114(2019山东聊城期中)已知圆 C：(x3) 2y 24，定点 A(3，0)，则过定点 A且和圆 C外切的动圆圆心 M的轨迹方程为_
8、5答案 x 2 1(x1)y28解析 设动圆 M的半径为 R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2.由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a1，c3，b 28.则动圆圆心 M的轨迹方程为 x2 1(x1)y2815(2019湖南长沙模拟)P 是双曲线 C： y 21 右支上一点，直线 l是双曲线 C的一x22条渐近线，P 在 l上的射影为 Q，F 1是双曲线 C的左焦点，则|PF 1|PQ|的最小值为_答案 2 12解析 设右焦点为 F2，|PF 1|PF 2|2 ，2|PF 1|PF 2|2 ，|PF 1|PQ|PF 2|2 |PQ|.当且仅当 Q，P
9、，F 2三点共线，2 2且 P在 F2，Q 之间时，|PF 2|PQ|最小，且最小值为 F2到 l的距离由题意得 l的方程为 y x，F 2( ，0)，F 2到 l的距离 d1，|PQ|PF 1|的最小值12 3为 2 1.216(2019江南十校 3月综合素质测试)已知双曲线 C1，C 2的焦点分别在 x轴，y 轴上，渐近线方程为 y x，离心率分别为 e1，e 2.则 e1e 2的最小值为_1a答案 2 2解析 由题意得双曲线 C1的方程为 y 21(a0)，双曲线 C2的方程为 y2 1(a0)，x2a2 x2a2所以 e1e 2 2 2 2 (当且仅当 a1 时等号成立)a2 1a a
10、2 1 a2 1a a 1a 217.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点 P，F 1PF2 ，且PF 1F2的面积为 2 ，又双曲线的离心率为 2，求3 3该双曲线的方程答案 13x22 y22解析 设双曲线的方程为 1，x2a2 y2b26F 1(c，0)，F 2(c，0)，P(x 0，y 0)在PF 1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos3(|PF 1|PF 2|)2|PF 1|PF2|.即 4c24a 2|PF 1|PF2|.又SPF 1F22 ，3 |PF1|PF
11、2|sin 2 .12 3 3|PF 1|PF2|8.4c 24a 28，即 b22.又e 2，a 2 .ca 23所求双曲线方程为 1.3x22 y2218(2019上海崇明一模)已知点 F1，F 2为双曲线 C：x 2 1 的左、右焦点，过 F2作y2b2垂直于 x轴的直线，在 x轴上方交双曲线 C于点 M，MF 1F230.(1)求双曲线 C的方程；(2)过双曲线 C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P 2，求 PP1 的值PP2 答案 (1)x 2 1 (2)y22 29解析 (1)设 F2，M 的坐标分别为( ，0)，( ，y 0)(y00)，1 b2 1
12、b2因为点 M在双曲线 C上，所以 1b 2 1，则 y0b 2，y02b2所以|MF 2|b 2.在 RtMF 2F1中，MF 1F230，|MF 2|b 2，所以|MF 1|2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|MF 2|b 22，故双曲线 C的方程为 x2 1.y22(2)由条件可知：两条渐近线分别为 l1： xy0，l 2： xy0.2 2设双曲线 C上的点 P(x0，y 0)两条渐近线的夹角为 ，由题意知 cos .则点 P到两条渐13近线的距离分别为|PP 1| ，|PP 2| .|2x0 y0|3 |2x0 y0|37因为 P(x0，y 0)在双曲线 C：x 2 1 上，所以 2x02y 022.y22所以 cos .PP1 PP2 |2x0 y0|3 |2x0 y0|3 |2x02 y02|3 13 29
