1、- 1 -牡一中 2018 级高一学年上学期期末考试数 学 试 题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1. 角的终边落在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据角的定义判断即可【详解】 ，故为第一象限角，故选 A。【点睛】判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可。2.若扇形的面积为 ，半径为 ，则扇形的圆心角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为 ，半径为 1， 故选 B3.已知角 的终边与单位圆的交于点 ，则 (
2、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求出点 的坐标，再利用三角函数的定义得出 的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可详解：点 在单位圆上， ，则由三角函数的定义可得得- 2 -则 点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出 的值是解题的关键4.已知 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知向量垂直得到数量积为 0，从而求出 的值.【详解】 ， ， ，又 ，即故选：B【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题的关键，属于基础题5.最小正周期为 ，且图象关于点 对称的一个函数
3、是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的最小正周期排除选项 A,再利用对称中心排除选项 B,C,确定选项 D 得解.【详解】由于函数的最小正周期为 ，所以 ，所以选项 A 错误；- 3 -对于选项 B, ，所以选项 B 是错误的；对于选项 C, ，所以选项 C 是错误的；对于选项 D, ,所以选项 D 是正确的.故答案为：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.已知 , 为非零向量，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条
4、件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若 ，则 与 夹角为锐角或零角，若 与 夹角为锐角，则一定有 ，所以“ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选 B.7.设平面向量 ，若 ，则 （ ）A. B. C. 4 D. 5【答案】B【解析】由题意得 ，解得 ，则 ，所以 ，故选 B.8.若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得， ，故选 A.9.已知函数 图象的一条对称轴是 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 4 -【分析】化简函数 f（ x） acosx+sinx 为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线 对称
5、，就是 时，函数取得最值，求出 a 即可【详解】函数 f（ x） acosx+sinx sin（ x+） ，其中 tan a， ，其图象关于直线 对称，所以 ， ，所以 tan a ，故答案为： D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题10.为得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有的点（ ）A. 横坐标缩短到原来的 倍B. 横坐标伸长到原来的 倍C. 横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位D. 横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位【答案】A【解析】分析：先将三角函数化为同名函数 然后根据三角函数伸缩规则即可.详解：由题可得： ，故只需横坐标缩短到原来
6、的 倍即可得 ，故选 A.点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.11.设函数 ，若 ， ，则关于 的方程 的解的个数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】，双 ， ，所以- 5 -，显然 时 有一个解； ，所以关于 的方程 的解的个数为 3,故选择 D12.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平移法则得到平移后的解析式，由函数 在区间 上单调递增且 求得；因为最大负零点在 内，进而求得 ，求交集即可得到
7、的取值范围。【详解】将函数 的图象向右平移 可得因为函数 在区间 上单调递增所以 ，解不等式组得 因为所以函数 的零点为 ，即 ，最大负零点在 内所以 ，化简得因为所以由 可知， 的取值范围为所以选 C- 6 -【点睛】本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数的平移、单调性、零点等，涉及知识点多，综合性强，是难题。二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）13.函数 的最小正周期是_。【答案】【解析】分析：先借助降幂公式将原式化简，再根据周期计算即可.详解：由题可得：所以 ，故答案为点睛：考查三角函数的二倍角公式的逆运用，最小正周期计算，属于基础题.14.函数 ， ，则
8、的最小值为_。【答案】【解析】【分析】先化简函数得 ，再换元利用二次函数求函数的最小值.【详解】由题得 ，因为 ，所以 ，设 ，所以当 t= 时，g(t)的最小值=-4.故答案为：-4.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为_。【答案】【解析】分析：根据向量的投影和向量的坐标运算即可求出详解：因为向量 ， ，- 7 - =（-1，-1） ， 在 方向上的投影为 故答案为点睛：本题考查了向量的投影和向量的坐标运算，属于基础题请在此填写本题解析!16.已知 为 上
9、的偶函数，当 时， ，若函数（ ）有且仅有 个不同的零点，则实数 的取值范围是_ 。【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，令 ，则由图象可得：当 时，方程 只有 1 解；当 或 时，方程 有 2 解；当 时，方程 有 4 解；因为 ，所以 或 ，因为 有 解，所以 又两解，所以 或 点睛：本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用 的根的个数的应用是解答的关键三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤- 8
10、-17.已知 ，且 是第二象限角。（1）求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】分析：依题意，利用同角三角函数间的关系式可以求得 ，即可求得结果由可知 ， ，代入到要求的式子中即可求解详解：（1） 是第二象限角， ， . .（2）由（1）知 ， .原式 .点睛：本题主要考查了同角三角函数的化简求值，属于基础题，注意角所在的象限，从而确定各三角函数值的符号。18.已知 ，且 。 （1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值。【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由 ，然后两边取正弦计算即可.详解：（） ，且 ， ，-2 分于是
11、；- 9 -（） , , ,结合 得： ， 于是. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于 的配凑是解第二问的关键，属于中档题.19.已知 。(1)求 的值；(2)求 的值。【答案】 （） （）【解析】试题分析：() ，利用两角差的正切展开计算即可；()由 ，代入求解即可.试题解析：（） （） 20.已知 ， ，若 。(1)求 的最小正周期和最大值；(2)讨论 在 上的单调性。【答案】 （1）最大值为 ，对称轴 ；（2）在 上单调递增，在上单调减【解析】试题分析：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的最值以及对称轴求解即可（2）利用正
12、弦函数的单调增区间，转化求解即可试题解析：- 10 -（1）f(x)=sinxcosx- cos2x=cosxsinx- (1+cos2x)= ，所以最大值为 ，由 2x- =k + ,kZ, 所以对称轴 x= , kZ（2）当 x 时， 从而当 ， 时，f(x)单调递增 当 ,f(x)单调递减综上可知 f(x)在 上单调递增，在 上单调减。21.已知平面向量 、 满足 ， ，(1)若 ，试求 与 的夹角的余弦值；(2)若对一切实数 ， 恒成立，求 与 的夹角。【答案】 （1） ；（2） 与 的夹角为 。【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义与夹角公式，即可求出 、 夹角的余弦值；（2
13、）设 a 与 b的夹角为 ，由| x | 得出不等式 x2+2 xcos2 cos10 对一切实数 x 恒成立，利用判别式0 求出 cos 的值，从而得出 的值【详解】 （1）因为| | ，| |1，| |2，所以| |24，即 22 24，22 14，所以 设 与 的夹角为 ，- 11 -cos . （2）令 与 的夹角为 ，由| x | |，得（ x ） 2（ ） 2， 因为| | ，| |1，所以 x2+2 xcos2 cos10，对一切实数 x 恒成立， 所以8cos 2+8 cos+40， 即（ cos+1） 20，故 cos ，因为 0，所以 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与夹
14、角公式的由于问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合性题目22.已知 ， 。（1）求当 时， 的值域；（2）若函数 在 内有且只有一个零点，求 的取值范围。【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】（1）当 时， ，令 ，则 ， ，当 时，当 时， ，所以 的值域为 .（2） ，- 12 -令 ，则当 时， ， ，在 内有且只有一个零点等价于 在 内有且只有一个零点， 无零点. 因为 ， 在 内为增函数，若 在 内有且只有一个零点， 无零点，故只需得 ；若 为 的零点， 内无零点，则 ，得 ，经检验，符合题意.综上， 或 .【点睛】本题考查三角恒等变换、函数的值域和函数的零点，涉及函数与方程思想、换元思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题利用换元思想将原函数转化为二次函数，再利用二次函数的图像即可求得值域；第二小题先利用转化化归思想将命题转化为 的零点问题，再利用二次方程根的分布知识求得正解.- 13 -
