1、- 1 -双鸭山市第一中学 2018-2019 学年度上学期（高一理科）数学学科期末考试试题一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 , ,则集合 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合 ，利用并集的定义求解即可.【详解】由一元二次方程的解法化简集合，或 ，或 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.2.已知正
2、弦函数 f(x)的图像过点 ,则 的值为( )A. 2 B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意结合诱导公式有：.本题选择 C 选项.3.如图，正方形 中, 为 的中点,若 ,则 的值为( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 E 是 DC 的中点，所以 ， ， ， 考点：平面向量的几何运算4.已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式 即得函数的定义域.【详解】由题得 ，解之得 ，所以函数的定义域为 .故答案为：C【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法，考查具体函数的定义域的求法和对数函数
3、的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.设 a 是方程 的解,则 a 在下列哪个区间内( )A. (0,1) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)【答案】C【解析】【分析】设 ，再分析得到 即得解.【详解】由题得 设，由零点定理得 a(2,3).故答案为：C【点睛】本题主要考查函数的零点和零点定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析- 3 -推理能力.6.设四边形 ABCD 为平行四边形， ， .若点 M，N 满足 ， ，则 （ ）A. 20 B. 15 C. 9 D. 6【答案】C【解析】，所以，选 C.考点：平面向量.【此处有视频，请去附件查看】7
4、.已知函数 ,则下列结论错误的是( )A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称C. 的一个零点为 D. 在区间 上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据周期的公式得到 故 A 正确；函数图像的对称轴为可判断 B 错误；零点为，可判断 C 正确；单调减区间为 可得到 D 正确.【详解】函数 ，周期为： 故 A 正确；函数图像的对称轴为， 不是对称轴，故 B 不正确；函数的零点为，当 k=1 时，得到一个零点为 ；函数的单调递减区间为：，解得 x 的范围为 ，区间 是其中的一个子区间，故 D 正确.- 4 -故答案为：B.【点睛】函数 （ A0, 0）的性质：（1）奇偶性： 时，函数为奇函数
5、； 时，函数 为偶函数;（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为 T= ;（3）单调性：根据 y=sint 和 t= 的单调性来研究，由 得单调增区间；由得单调减区间;（4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为求解，令 ，求得 x;利用 y=sin x 的对称轴为 求解，令 ，得其对称轴.8.函数 y= 的单调递减区间是( )A. (-,1) B. 1,+) C. (-,-1) D. (-1,+)【答案】A【解析】【分析】令 t- x2+2x1，则 y ，故本题即求函数 t 的增区间，再结合二次函数的性质可得函数t 的增区间【详解】令 t- x2+2x1，则 y ，故本题即求函数 t 的
6、增区间，由二次函数的性质可得函数 t 的增区间为（-，1） ，所以函数的单调递减区间为(-,1).故答案为：A【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的单调性，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.若ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 4, ,则 在 方向上的投影为( )A. 4 B. C. D. 1【答案】A【解析】- 5 -试题分析：过 作 的垂线，垂足为 ， ，即 ，即 ，即 为边长为 2 的菱形， ， ， ， ，由定义，在 上的投影为 .考点：向量投影的定义.10.已知函数 若函数 有四个零点,零点从小到大依次为则 的值为( )A. 2 B. C.
7、D. 【答案】C【解析】【分析】函数 有四个零点，即 与 的图象有 4 个不同交点，可设四个交点横坐标 满足 ，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到 ，从而可得结果.【详解】作出函数 的图象如图,函数 有四个零点，即 与 的图象有 4 个不同交点，不妨设四个交点横坐标 满足 ，则， ， ,可得 ,由 ，得 ，则 ，可得 ，即 ， ，故选 C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种- 6 -等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根函数 与 的交
8、点 .11.已知 ,且 在区间 有最大值,无最小值,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】结合题中所给函数的解析式可得：直线 为 的一条对称轴， ， ，又 ，当 k=1 时, .本题选择 C 选项.12.已知函数 ,若 ,则 恒成立时 的范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件 f（1）0，得到 0 a1 f（ x）在 R 上单调递减，从而将 f（ x2+tx） f（ x4）转化为 x2+tx x4，研究二次函数得解.【详解】 f（ x） a x ax f（ x） ， f（ x）是定义域为 R 的奇函数， f（ x） ax a x（ a0 且 a1）
9、 ，且 f（1）0， ，又 a0，且 a1，0 a1 ax单调递减， a x单调递增， f（ x）在 R 上单调递减- 7 -不等式 f（ x2+tx）+ f（4 x）0 化为： f（ x2+tx） f（ x4） ， x2+tx x4，即 x2+（ t1） x+40 恒成立，（ t1） 2160，解得：3 t5故答案为：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上13.函数 的图象恒过定点 ,点 在幂函数 的图象上,则 =_
10、【答案】【解析】试题分析：因为函数 的图象恒过定点 ，则可之令 2x-3=1,x=2,函数值为 4，故过定点（2，4） ，然后根据且点 在幂函数 的图象上，设,故可知 =9，故答案为 9.考点：对数函数点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0） ，即令真数为 1 求对应的 x 和 y，则是所求函数过定点的坐标14. 的解集为_【答案】【解析】【分析】由题得 ，解不等式得不等式的解集.【详解】由题得 ，所以 .所以不等式的解集为 .故答案为：- 8 -【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知单位向量 与 的夹角为
11、 ,向量 的夹角为 ,则 cos =_【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得 、| |、| |的值，结合向量夹角计算公式计算可得答案【详解】根据题意，单位向量 ， 的夹角为 ，则 11cos ，3 2 ， 3 ，则 （3 2 ）（3 ）9 2+2 29 ，| |2（3 2 ） 29 2+4 212 7，则| | ，| |2（3 ） 29 2 26 7，则| | ，故 cos .故答案为：【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.下列说法正确的序号是_.（写出所有正确的序号）正切函数 在定义域内是增函数；
12、已知函数 的最小正周期为 ,将 的图象向右平移 个单位长度,所得图象关于 轴对称,则 的一个值可以是 ；若 ,则 三点共线；函数 的最小值为 ；- 9 -函数 在 上是增函数,则 的取值范围是 .【答案】【解析】【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】正切函数 在 内是增函数 ,所以该命题是错误的；因为函数 的最小正周期为 ,所以 w=2,所以 将的图象向右平移 个单位长度得到,所得图象关于 轴对称,所以 ，所以 的一个值不可以是，所以该命题是错误的；若 ,因为 ，所以 三点共线，所以该命题是正确的；函数 = ，所以 sinx=-1 时， y 最小为-1，所以该命题是错误的;函数 在 上是增
13、函数,则 ,所以 的取值范围是 .所以该命题是正确的.故答案为：【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，考查正弦型函数的图像和性质，考查含 sinx 的二次型函数的最值的计算，考查对数型函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知角 的终边在第二象限,且与单位圆交于点 （1）求 的值；（2）求 的值.【答案】【解析】- 10 -【分析】(1)先求出 ，再求出 的值.(2)先利用诱导公式化简，再把 tan 的值代入求解.【详解】 （1）由题得 因为角 的终边在第二象限，所以所以 .(2) = .【点睛】本题主要考查三角
14、函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知向量（1）当 时,求 的值；（2）若 为锐角 ,求 的范围.【答案】 （1） x 或 x2；（2） x2 且 x 【解析】【分析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可 （2）根据题意得 0 且 ， 不同向，列出不等式，即可求出结果【详解】 （1） 2 （1+2 x，4） ，2 （2 x，3） ， （ 2 ）（2 ） ，可得（2 x+1） （2 x）+340即2 x2+3x+140 解得： x 或 x2（2）若 ， 为锐角，则 0 且 ， 不同向 x+20， x2，当 x 时， ， 同向
15、 x2 且 x 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.- 11 -19.已知函数（1）若函数图像关于直线 对称,且 ，求 的值；（2）在（1）的条件下，当 时,求函数 的值域.【答案】(1)w=1;(2) 0， .【解析】【分析】（1）求出函数的对称轴，求出求 的值.（2）根据 x 的范围，利用三角函数的图像和性质求出 f（ x）的范围得解.【详解】 （1）函数 f（ x）的图象关于直线 对称， k， kZ，1 k， kZ，（0，2，1，（2） f（ x）sin（2 x ） ，0 x ， 2x ， sin（2 x
16、）1，0 f（ x） ，函数 f（ x）的值域是0， 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性、值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键20.已知函数 .（1）求函数 的零点；（2）若函数 的最小值为 ，求 的值.- 12 -【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）要使函数有意义，则有 解之得函数 的定义域； （2）整理可得 ，则由复合函数的单调性可得 的最小值为，由此可解得 a 的值试题解析;；（1）要使函数有意义，则有 解之得 ， 所以函数的定义域为 （2） ， ， 由 ，得 ， 21.函数 = 的部分图像如图所示.（1）求函数 的单调递减区间；（2）将 的图像向右平移 个单位,
17、再将横坐标伸长为原来的 倍,得到函数 ,若在 上有两个解,求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）先求出 w=，再根据图像求出 ，再求函数的单调递减区间.(2)先求出- 13 -= ，再利用数形结合求 a 的取值范围.【详解】 （1）由题得 .所以所以 .令所以函数的单调递减区间为 .（2）将 的图像向右平移 个单位得到 ,再将横坐标伸长为原来的 倍,得到函数 = ,若 在 上有两个解,所以 ，所以 所以所以 a 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和单调区间的求法，考查三角函数的图像变换和三角方程的有解问题，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生
18、对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若函数 ,其中 为奇函数, 为偶函数 ,若不等式 对任意 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】 （1） （1，3） ；（2） .【解析】【分析】（1）设 t2 x，利用 f（ x）1692 x，转化不等式为二次不等式，求解即可；（2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推出结果【详解】解：（1）设 t=2x，由 f（x）1692 x得：tt 2169t，即 t210t+160 - 14 -2t8，即 22 x8，1x3不等式的解集为（1，3） （2） 由题意得解得 . 2ag（x）+h（2x）0，即 ，对任意 x1，2恒成立，又 x1，2时，令 ，在 上单调递增，当 时， 有最大值 ，所以 .【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，对勾函数的图像与性质以及函数恒成立的转化，考查计算能力- 15 -
