1、- 1 -武威六中 2018-2019 学年度高三第一次诊断考试数 学试 卷（理）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 Mxx1，Nxx 22x80，则 ( )NMA. 4,2） B. （1,4 C. （1，） D. （4，）2设 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数若 ，则复数 在复平面内对应iz 12zizi的点位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 下列命题正确的是 ( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相
2、等则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4已知等差数列 满足: 且 成等比数列,则数列 的前 项和为（ )na，21521anaA. B. C. D.2 2n或 24或5将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：( )A. 甲队得分的众数是 3B. 甲、乙两队得分在 分数段频率相等C. 甲、乙两队得分的极差相等D. 乙队得分的中位数是 38.56. 已知函数 f（x）=cos（2x+ ），g（x）=sin（2x+ ），将 f（x）的图象经过下列哪种以与 g（x）的图象
3、重合 （ ）A 向左平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向右平移7. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）- 2 -A. 4 B. 8 C. 16 D. 248. 执行右边的程序框图，若输出 ，则输入 （ 5126Sp）A6 B7 C8 D99. 已知双曲线 ， 、 为左右焦点，点 为双曲线21xyF2P上一点，若 ，则三角形 的面积为（ ）123P12A 2 BC 3 D 210. 已知 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）(),(,1)xafRaA B C D(0,3)(,3)(1,)3,)211.在双曲线 （a0，b0）中， ，直线 与双
4、曲线的两条21xy22cabaxc渐近线交于 A，B 两点，且左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A （0， ） B （1， ） C D （ ，）2212， 212在各项都为正数的等比数列 中，若 ，且 ，则数列na11564a的前 项和是（ ）1naA. B. C. D. 12n12n12n12n- 3 -二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13 （x 2+2） （ mx） 5的展开式中 x2项的系数 490，则实数 m 的值为 14. 已知实数 满足约束条件 则 的最大值为_.y、 ，01xyyx
5、215. 已知圆 21:Cx，圆 2:60C，则两圆的公共弦长是 _16. 已知 表示两条不重合的直线， 表示两个不重合的平面，则下列命题中，真命题,ab,的序号为 若 则 . 若 则/,ab,a若 则 . 若 则/,a/b/三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）已知 ，其中向量 ,( R).1fxab )cos,3(),cos2,(inxbxa（1）求 的最小正周期和最小值；（2）在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 ，若 ，abc34Afa= ， ，求边长 的值.134bc18. （本小题满分 12 分）已
6、知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；- 4 -19.（本小题满分 12 分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形， AB CD， 2A，四边形 EF为正方形，平面 EF平06面 .（1）若点 G是棱 的中点，求证： G平面 BD；（2）求直线 A与平面 BD
7、所成角的正弦值；20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 210xyab2312e（1）求椭圆 的标准方程；C （2）若 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，12F、 2FlC,AB求 面积的最大值.AB21. （本小题满分 12 分）设函数已知函数 ()1xfae（1）求函数 的单调区间；x（2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围；()f0,3a22. （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为：.（ 是参数，xOyC13cosinxy）.以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.0x（1）求曲线 的极坐标方程；（2
8、）直线 的极坐标方程是 ，直线 与曲线 的1l 03)sin(2 )(3:2RlC交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.P1lQP- 5 -第一次诊断考试数学（理）答案一选择题 二填空题 13. 14. 2 15. 52 16. 三 解答题17解：(1) f(x)=(sin2x,2cosx)( 3,cosx)-1= 3sin2x+cos2x=2sin（2 x 6）4 分 f(x)的最小正周期为 ，最小值为-2.5分(2) f( 4A)=2sin（ 2 6）= 3sin（ 2A 6） 36 分 2 6 3或 A 或 （舍去）8 分由余弦定理得 a2 b2 c22 bccosA 即 1316
9、 c2-4c 即 c2-4c+3=0 从而 c =1 或 c=3 12 分18(1)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2人题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C B C D C B B C D B A - 6 -(2)解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（ X=k）=347Ck（ k=0，1，2，3）所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 35854随机变量 X 的数学期望12()01237E19. （1）证明：由
10、已知得 F/CD，且 =.因为 ABCD为等腰梯形，所以有 BG/ .因为 是棱 AB的中点，所以 =GCD所以 EF/ G，且 =，故四边形 为平行四边形,所以 E/FB. 因为 平面 ， E平面 ，所以 E/平面 （2）因为四边形 F为正方形，所以 DC.因为平面 平面 A，平面 CD平面 ABC， 平面 F，所以E平面 .在 中，因为 60， 2A，所以由余弦定理，得 3B，所以 DB在等腰梯形ABCD中，可得 1C. 如图,以 为原点，以 AE， ， 所在直线分别为 ,xyz轴，建立空间坐标系， 则 0,D， 1,0A， ,1E， 0,3B， 13,2F，所以 ,E， ,2F， ,0D
11、. 设平面 BD的法向量为 ,nxyz，由 .nBF，- 7 -所以3012yxz，取 1，则 2,0xy，得 2,1n设直线 AE与平面 BDF所成的角为 ，则 sinco,AEn01，所以 与平面 所成的角的正弦值为 10. 20 （1）由题意可得2231bca解得 ,3ab 故椭圆的标准方程为143xy4 分（2）设 12,AB， 1212FBSyy，由题意知，直线 l的斜率不为零，可设直线 l的方程为 1xmy，由2143xmy得 24690ym，所以， 1212,34y又因直线 l与椭圆 C交于不同的两点，故 0，即 226340,mR， 则 1212212112214FABSyyy
12、令21tm，则 t，12233FABmtSt- 8 -令13ftt，由函数的性质可知，函数 ft在3，上是单调递增函数，即当 1t时， f在 1,上单调递增，因此有41f，所以 13FABS，即当 ,0m时， 1FABS最大且为 3 12 分21解(1)函数定义域为 R,因为 ()xfae()1xfae 1 分当 0时, 恒成立, 在 R 上单调递减；当 时,令 ()0fx得 ln. 当 lnxa时， ，当 xa时， ()0fx 综上：当 时,单调递减区间为 (,)，无增区间；当 0时,增区间为 (ln,)a ，减区间为 (,ln)a6 分（2）因为 )fx在 03上只有一个零点,所以方程 1(0,3)xe在 上只有一个解.设函数 1(xhe则 2()xhe,当 0时, , 当 时, ()0hx,所以 ()x在 2上单调递增, 在 (23上单调递减故 ma1he ,又 30)1,)he, () 所以的取值范围为 32( 12 分 22.【解析】 （1）曲线 C的普通方程为 )(2yx，又 cosx, siny，所以曲线 的极坐标方程为 0,-cos-2 . （5 分）（2）设 ),(1P,则有 3，解得 3,21,- 9 -设 ),(Q2,则有 30)(sin，解得 3,-2,所以 5-P21. （10 分）
