1、- 1 -2017-2018 学年江西省景德镇一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.对于全集 U 的子集 M， N，若 M 是 N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案。【详解】由题意，可画出韦恩图如下图所示：由图可知，所以选 B【点睛】本题考查了集合与集合的基本关系，用韦恩图分析集合间包含关系的应用，属于基础题。2.设 ， ， ，则( )A. y3 y1 y2 B. y2 y1 y3 C. y1y2 y3 D. y1 y3 y2【答案】D【解析】试题分析
2、：利用指数函数比较大小. ，因为 在 上单增，所以有 ，故选 D.考点：指数函数的单调性.3.正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为 2，正三棱锥的高为 ，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。【详解】由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示由正视图可知正三棱锥的高为 ，底面等边三角形的边长为 2即 则 根据三角形 AOE 为直角三角形可得 所以 所以正三棱锥的侧面积为 所以选 D【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原
3、空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。4.过 P（2，0） ，倾斜角为 120的直线的方程为A. B. C. D. 【答案】A- 3 -【解析】【分析】由直线的倾斜角为 求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过 ,倾斜角为 的直线的方程.【详解】倾斜角为 120的直线的斜率为 k=tan120= ，过 P（2，0） ，倾斜角为 120的直线的方程为： y0= （ x+2） ，整理得： =0故选 A【点睛】本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.5.已知 ， ，那么 c1与 c2的位置关系是（ ）A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 相离【
4、答案】C【解析】【分析】将两个圆的方程化为标准方程，比较圆心距与两个半径的大小关系即可。【详解】因为所以 即圆心坐标为 （-1,3 ） ，半径因为所以 即圆心坐标为 （2,-1） ，半径两个圆的圆心距为 因为所以两个圆相交所以选 C【点睛】本题考查了圆的标准方程与一般方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，属于基础题。6.在空间直角坐标系中，已知 ABC 顶点坐标分别是 A（-1，2，3） ， B（2，-2，3） ，- 4 -，则 ABC 是（ ）三角形A. 等腰 B. 锐角 C. 直角 D. 钝角【答案】C【解析】【分析】根据两点间的距离公式，分别算出 AB、AC、BC 的长，进而利用勾股定理
5、逆定理判断三角形的形状。【详解】根据两点间距离公式可知因为 所以三角形 ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形所以选 C【点睛】本题考查了空间中两点距离公式的简单应用，勾股定理的逆定理判断三角形的形状，属于基础题。7.设 x、 y、 z 均为正数，且 ， （ ） y= ， （ ） z=log2z，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可。【详解】在同一个坐标系中画出函数 的图象如下图所示- 5 -由图可知，所以选 A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题。8.已知平
6、面 平面 ，平面 平面 = L 点 A， AL，直线 AB L，直线 AC L，直线 m， m，则下列结论中 AB m， AC m， AC，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，将各个点、线、面放在正方体中，利用正方体的性质判断各个选项是否正确。【详解】因为平面 平面 ，平面 平面 = L 点 A， AL，直线 AB L，直线AC L，直线 m， m构造一个正方体如下图：由图可知 ABm，ACm，正确；AC 不正确所以选 A【点睛】本题考查了空间点线面的位置关系及命题真假的判断，关键是根据条件构造合适的- 6 -空间几何体，属于基础题。9.设 ，若 f（ a
7、）+ f（3 a+1）0，则 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的真数大于 0，求出定义域。而 为奇函数且在定义域内为增函数，进而利用函数单调性与奇偶性解不等式即可求得 a 的取值范围。【详解】因为 ，所以解不等式得又因为 = =所以函数 为奇函数，根据复合函数单调性判断可知 在 上为增函数因为 f（ a）+ f（3 a+1）0，即 f（ a）- f（3 a+1）所以 f（ a） f（-3 a-1）因为 在 上为增函数所以 ，解不等式组得 所以选 C【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析 f（x）的奇偶性与单调性，属于中档题
8、。10.如图，在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1中， A1B1=B1B=2， AB=4，则异面直线 BB1与 CD1所成的角的余弦值为（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取 BC 中点 M，链接 A1C1，A 1M，MC 1从而A 1MC1是异面直线 BB1与 CD1所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线 BB1与 CD1所成的角的余弦值。【详解】取 BC 中点 M，链接 A1C1，A 1M，MC 1在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1中，A 1B1=B1B=2，AB=4BC=AB=4，MC=2，A 1D1=2A 1D1MC 为平行四边形A 1MD 1C，
9、同理，B 1C1BM，B 1C1=BM=2，BB 1C1C 为平行四边形，BB 1C 1M，A 1MC1是异面直线 BB1与 CD1所成的角，C 1D1DC 为等腰梯形，CC 1=C1D1=D1D=2，DC=4，CC 1D1=120， 又 即为异面直线 BB1与 CD1所成的角的余弦值为所以选 A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，注意运算，属于中档题。- 8 -11.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=2， ， AA1=1，则二面角 C-B1D-C1的大小的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
10、】根据题意建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标表示向量，求出平面 CB1D、平面 C1B1D 的法向量，再计算法向量的夹角，即可得出二面角 C-B1D-C1的余弦值。【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=2， ， AA1=1所以 所以 设平面 CB1D 的法向量为 所以 ，代入坐标令 y=1，代入可求得法向量为同理可设平面 C1B1D 的法向量为 所以 ，代入坐标令 i=1，代入可求得法向量为所以 由图可知，二面角 C-B1D-C1为锐二面角，所以- 9 -所以选 A【点睛】本题考查了向量法求平面与平面形成的二面角，空间直角坐标系
11、的应用，属于中档题。12.已知函数 ，则方程| f（ x）+ g（ x）|=1 实根个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】由|f（x）+g（x）|=1 可得 g（x）=-f（x）1，分别作出函数的图象，即可得出解。【详解】由|f（x）+g（x）|=1 可得 g（x）=-f（x）1令 h（x）=-f（x）+1，g（x）与 h（x）=-f（x）+1 的图象如下图所示，两个函数图象有 3个交点令 （x）=-f（x）-1，则 g（x）与 （x）=-f（x）-1 的图象如下图所示，两个函数图象有两个交点；- 10 -所以方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为
12、5所以选 C【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，数形结合的数学思想在解决问题中的应用，对分析、解决问题的能力要求较高，属于难题。二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.方程 log3（1-23 x）=2 x+1 的解 x=_【答案】【解析】【分析】由 log3（1-23 x）=2x+1，知 1-23x=32x+1，故 3（3 x） 2+23x-1=0，进而求出方程的解【详解】log 3（1-23 x）=2x+1，1-23 x=32x+1，3（3 x） 2+23x-1=0，（33 x-1） （3 x+1）=0，所以 或解得 x=-1所以方程的解为 x=-1【点睛】本题考查指数
13、，对数的运算性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，属于基础题。14.若圆 C： x2+y2-2x-2y+m=0 被直线 L：（2 m+1） x-（ m+1） y-m=0 截得的弦长为 2，则 m 的值等于_【答案】- 11 -【解析】【分析】将 x2+y2-2x-2y+m=0 化为标准方程，得到圆心为和半径，由于直线过定点 M（1，1） ，当圆被直线截得的弦长为 2 时，可知此弦长为直径，即可求出 m 的值。【详解】圆 C：x 2+y2-2x-2y+m=0 可化为（x-1） 2+（y-1） 2=2-m圆心为（1，1） ，半径为 直线过定点 M（1，1） ，圆被直线截得的弦长为 2，圆的直径为
14、 2，即又2-m0，m2，m 的值为 1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题。15.当 x=_时，函数 y=x4-2x3+x+2018 取得最小值【答案】【解析】【分析】根据函数求得导函数，进而得导函数的零点。根据导函数的符号判断单调区间，可判断使函数取得极小值的 x 值。【详解】由 y=x4-2x3+x+2018，得 y=4x 3-6x2+1，由 y=4x 3-6x2+1=0，得 4x3-6x2+1=（2x 2-2x-1） （2x-1）=0解方程可得 或当 或 时，y0所以函数的单调递减区间为 或- 12 -单调递增区间为 或所以当 时函数取得极小值而当 时，函
15、数值当 时，函数值所以当 时函数取得最小值【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值与最值，化简求值过程较为复杂，属于难题。16.已知空间四边形 ABCD 的四个顶点都在球 O 的面上， E、 F 分别是 AB、 CD 的中点，且EF AB， EF CD，若 AB=8， CD=EF=4，则球 O 的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意，球心 O 必在 EF 上，则 OF2+22=R2=（4-OF） 2+42，即可求得球的半径，进而求得球的表面积。【详解】由题意可知，球心 O 必在 EF 上，则 OF2+22=R2=（4-OF） 2+42所以 ，由球的表面积公式可得S=4
16、R 2=65【点睛】本题考查了空间结构体的外接球的半径、表面积求法，主要是通过分析得出各量之间的关系，属于中档题。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知直线 L1：（3- a） x+（2 a-1） y+10=0，直线 L2：（2 a+1） x+（ a+5） y-6=0（1）若 L1 L2，求 a 的值；（2）若 L1 L2，求 a 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】- 13 -（1）两直线垂直，则 A1A2+B1B2=0，代入两条直线方程中的 A、B 即可求得 a 的值。（2）两条直线平行，则 A1 B2 =B1 A2，且截距不等，代入即可求得 a 的值。
17、【详解】解：（1） L1 L2则（2 a+1）+（2 a-1） （ a+5）=0，解得 a= ，（2） L1 L2则（3- a） （ a+5）=（2 a-1） （2 a+1） ，解得 a= 或 a=-2， 、当 a=-2 时， l1与 l2重合，不满足题意，故 a= 【点睛】本题考查了两条直线平行、垂直时一般方程中系数的的相互关系，注意平行时对截距也有要求，属于基础题。18.如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1， E、 F、 G、 H 分别是所在棱 A1D1， B1C1， C1C 和 AB 的中点（1）求证 EG平面 A1BC1；（2）求证： E、 F、 G、 H 四点共面【答案】 （
18、1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得 FGCD 1，CD 1A 1B，从而 FGA 1B，进而 FG平面 A1BC1，再求出 EF平面 A1BC1，从而平面 EFG平面 A1BC1，由此能证明 EG平面 A1BC1。（2）延长 FG，交 DC 于 M，连结 MH，交 BC 于 N，可得出 NHEF，进而可证明 E、F、G、H 四点共面【详解】证明：（1）正方体 ABCD-A1B1C1D1， E、 F、 G、 H 分别是所在棱 A1D1， B1C1， C1C 和AB 的中点， FG CD1， CD1 A1B， FG A1B，- 14 - FG平面 A1BC1， A1B
19、平面 A1BC1， FG平面 A1BC1，同理， EF平面 A1BC1， EF EG=E，平面 EFG平面 A1BC1，EG平面 EFG， EG平面 A1BC1（2）延长 FG，交 DC 于 M，连结 MH，交 BC 于 N，则 N 是 BC 的中点， NH AC A1C1， NH EF， E、 F、 G、 H 四点共面【点睛】本题考查线面平行、四点共面的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题。19.已知 （1）判断函数 f（ x）的奇偶性并说明理由；（2）设 g（ x）= f（ x）- a，若函数 g（ x）没有零点，求实数
20、a 的取值范围【答案】 （1）奇函数，理由见解析；（2） .【解析】【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，分析可得 f（-x）+f（x）=0，由函数奇偶性的定义分析即可；（2）根据题意，分析可得函数 g（x）=f（x）-a 没有零点，则方程 f（x）=a 没有实根，求出函数 f（x）的值域，即可得 a 的取值范围。【详解】解：（1）根据题意， ，其定义域为（-，0）（0，+） ，则 f（- x）= + = + ，- 15 -则 f（ x）+ f（- x）= + + + =1-1=0，则函数 f（ x）为奇函数；（2）函数 g（ x）= f（ x）- a 没有零点，则方程 f（ x）= a
21、 没有实根，对于 f（ x）= + ，当 x0 时，2 x1，则 2x-10，则有 + ，则在（0，+）上， f（ x） ，又由函数 f（ x）为奇函数，则当 x0 时， f（ x）- ，故函数 f（ x）的值域为（-，- ）（ ，+） ；则当- a 时， f（ x）= a 无实根，此时函数 g（ x）没有零点【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数零点的判断，关键是分析函数的奇偶性，属于中档题。20.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， AB DC， ABC=90，AB=1， ， DC=2， E 是棱 DC 的中点；侧面 PAD 是正三角形，侧面 PAD底面 ABCD（
22、1）求证： PE BD；（2）求点 A 到平面 PBD 的距离【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】- 16 -（1）连结 AC，交 BD 于点 O，取 AD 中点 F，连结 EF，交 BD 于点 G，连结 PG，推导出ACBD，EFBD，PFAD，从而 PF平面 ABCD，进而 PFBD，又 EFBD，从而 BD平面PEF，由此能证明 BDPE。（2）根据题意易得 BDPG，由等体积法 VP-ABD=VA-PBD，可求出点 A 到平面 PBD 的距离。【详解】证明：（1）连结 AC，交 BD 于点 O，取 AD 中点 F，连结 EF，交 BD 于点 G，连结 PG，在梯形 AB
23、CD 中， AB=1， BC= ， CD=2， ABC= DCB=90，tan ACB= ，tan BDC= ， ACB= BDC， AC BD， EF AC， EF BD又平面 PAD平面 ABCD， PF AD， PF平面 ABCD， PF BD，又 EF BD， PE EF=E， BD平面 PEF， BD PE解：（2）由（1）可知， ，又 BD平面 PEF， BD PG， ， FG= = ， PF= ， PG= ， = ，VP-ABD=VA-PBD，- 17 - ，点 A 到平面 PBD 的距离 h= 【点睛】本题考查线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置
24、关系等基础知识，属于中档题。21.已知二次函数 （1）求 f（ x）在0，1上的最小值 g（ a）的解析式；（2） 时，比较 g（ a）与 g（1- a）的大小并说明理由【答案】 （1） ；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）二次函数 f(x)x 22(2a1)x+5a24a+2 的图象是开口向上，且以直线 x=2a-1 为对称轴的抛物线。分类讨论对称轴与区间的关系，分析出函数的单调性，可得 f（x）在0，1上的最小值 g（a）的解析式；（2） 时，结合中结论，利用作差法，可比较 g（a）与 g（1-a）的大小。【详解】解：（1）二次函数 的图象是开口朝上，且以直线 x=2a-1 为对称轴的
25、抛物线，当 2a-10 时，函数在0，1上为增函数，此时 g（ a）= f（0）= ；当 02 a-11 时，函数在0，2 a-1上为减函数，在2 a-1，1上为增函数，此时 g（ a）= f（2 a-1）= ；当 2a-11 时，函数在0，1上为减函数，- 18 -g（ a）= f（1）= ；综上可得： g（ a）= ；（2） 时，1- a ，故 g（1- a）= = ，当 时， g（ a）= ；g（ a）- g（1- a）=-2（2 a-1） （ a-1）0，此时 g（ a） g（1- a）当 a1 时， g（ a）= ；g（ a）- g（1- a）=-2（ a-1） ，a=1 时， g（
26、 a）- g（1- a）=0，即 g（ a）= g（1- a）a1 时， g（ a）- g（1- a）0，即 g（ a） g（1- a）综上可得：当 时， g（ a） g（1- a）当 a=1 时， g（ a）= g（1- a）当 a1 时， g（ a） g（1- a）【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，作差法比较代数式的大小，分类讨论思想，属于中档题。22.已知 ， （1）若直线 L 与 C1相切，且截 C2的弦长等于 ，求直线 L 的方程（2）动圆 M 与 C1外切，与 C2内切，求动圆 M 的圆心 M 轨迹方程【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）设所求直线 l
27、 的方程为 y=kx+b，由直线 l 与C 1相切、直线 l 截C 2的弦长，列方程组即可求出直线 L 的方程。- 19 -（2）由题意得：|MC 1|+|MC2|=6，设动点 M（x，y） ，列方程能求出动圆 M 的圆心 M 轨迹方程。【详解】解：（1）设所求直线 L 的方程为 y=kx+b，直线 L 与 C1相切， =1， （ i）又直线 L 截 C2的弦长等于 2 ， =2， （ ii）2 =2 ，解得 d2=r2-21=4，| k-b|=2 ，| k-b|=2|k+b|， k+3b=0， （ iii）或 3k+b=0， （ iiii）（ iii）代入（ i） ，得：| |= ， ，无解，（ iiii）代入（ i） ，得：|-2 k|= ，解得 k= ，当 k= 时， b=- ，直线方程为 y= ，当 k=- 时， b= ，直线方程为 y=- x+ 经检验得斜率不存在的直线均不适合题意故直线 L 的方程为 y= ，或 y=- x+ （2）由题意得：| MC1|+|MC2|=6，设动点 M（ x， y） ，则 + =6，解得 =1，动圆 M 的圆心 M 轨迹方程为 【点睛】本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题。- 20 -
