1、- 1 -江西省上饶市 2017-2018 学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设全集 U=xN *|x6，A=1，2，B=2，3，4，则 A（ UB）=（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可解出集合 ,然后进行交集、补集的运算即可【详解】解： ,2 ,3 ,4 ,5, ；,5, ；故选： 【点睛】考查描述法,列举法的定义,以及补集和交集的运算,属于基础题2.已知幂函数 f（x）=x a的图象经过（2， ） ，则 f（4）=（ ）A. B. 2 C. D. 8【答案】B【解析】【分析】求出幂函数的解析式，然后求解 f（4
2、）的值 【详解】解：因为幂函数 的图象经过点 ，所以幂函数的解析式为： ，则 （4） 故选： 【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法及函数值的求法，考查计算能力，属于基础题3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. ，B. ，- 2 -C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】逐一分析四组函数的定义域和解析式是否一致，结合同一函数的定义，可得答案【详解】解：A 中， ， ，故 A 中两个函数不是同一函数；B 中, 的定义域为 ， 的定义域为 ，故 B 中两个函数不是同一函数；D 中， 的定义域为 ， ， 的定义域 ,故 D 中两个函数不是同一函数；C 中， 和 的定义域均为 ，且对应关系一致，故
3、 C 中两个函数表示同一函数；故选：C.【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：两个函数的定义域是同一个集合；两个函数的解析式可以化为一致这两个条件缺一不可,必须同时满足,属于基础题4.直线 - =1 的倾斜角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出【详解】解：设直线 的倾斜角为 ， - 3 -则 ， 故选：B【点睛】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.已知 m、n 是两条不同直线，、 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A. 若 、 垂直
4、于同一平面，则 与 平行B. 若 m、n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C. 若 、 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D. 若 m、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】选项 A 中， ， 垂直于同一平面，则 ， 可以相交、平行，故 A 不正确；选项 B 中， m， n 平行于同一平面，则 m， n 可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确；选项 C 中， ， 不平行，但平面 内会存在平行于 的直线，如平面 中平行于 ， 交线的直线；选项 D 中，其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m， n 平行”是真命题，故 D 项正确所以选 D6.a=
5、 ，b=2 -3，c=log 25，则三个数的大小顺序（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的单调性即可得出 【详解】解： ， ， ，则三个数的大小顺序为 故选： 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础- 4 -题 7.如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个 圆柱所得，作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算 【详解】解：根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个 圆柱所得，作出几何体的
6、直观图（如图） ，则该几何体的表面积为 故选： 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，属于基础题 8.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则函数 的大致图象为- 5 -（ ）【答案】C【解析】试题分析：当 时， 的图象是 的图象向左平移 1 个单位得到的，只有 C 符合，故选 C考点：函数的图象9.若函数 y=log2（kx 2+4kx+5）的定义域为 R，则 k 的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的定义求出 的范围即可【详解】解： 由题意得：在 恒成立，时，成立，时， ，解得： ，综上， ， ，故选： 【点睛】
7、本题考查了二次函数的性质，考查对数函数的性质以及分类讨论思想，是一道基础题 10.已知 a1，k0，函数 f（x）= ，若函数 g（x）=f（x）-k 有两个零点，则实- 6 -数 k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令 ，即 ，运用指数函数的单调性和一次方程的解法，解不等式可得所求范围 【详解】解： ， ，函数 ，若函数 有两个零点，可得 时 成立， 即有 ，解得 ；由 时， ， ，综上可得 的范围为 故选： 【点睛】本题考查函数的零点个数问题解法，考查指数函数的单调性和不等式的解法，考查运算能力和推理能力，属于基础题 11.已知集合 A=（x，y）| =
8、2，集合 B=（x，y）|ax-y-2=0，且 AB=，则 a=（ ）A. 2 B. C. 和 2 D. 和 2【答案】D【解析】【分析】集合 ，由于直线 不经过点 ，所以 根据 ，可得 ，解得 直线 化为： ，与直线 平行时， 满足 ，可得 【详解】解：集合 ，由于直线 不经过点 ，所以 集合 ，且 ，- 7 -，可得 ，解得 直线 化为： ，与直线 平行时， 满足 ，综上可得： 或 故选： 【点睛】本题考查了直线方程、集合运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 12.已知函数 f（x）=2 x+ -3，g（x）=kx+3，若存在 x12，3，对任意的 x2-1，2，使
9、得 f（x 1）g（x 2） ，则实数 k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出函数 与 在定义域中的最小值，把问题转化为 求解 【详解】解： 对于 ，令 ， ， ， ，则函数 在 ， 上为增函数，（4） ；由存在 ， ，对任意的 ， ，使得 ，得 当 时， ，在 ， 为增函数，由 ，解得 ；当 时， ，在 ， 为减函数，- 8 -（2） ，解得 ；当 时， ， 成立 综上， 实数 的取值范围是 ， ， ， 故选： 【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 18.0 分
10、）13.计算： +log2 log32- =_【答案】-1【解析】【分析】根据根式、对数和有理指数幂的运算性质可得 【详解】解：原式 ，故答案为： 【点睛】本题考查了根式、对数和有理指数幂的运算性质,属基础题 14.一个正四棱台斜高是 12cm，侧棱的长是 13cm，侧面积是 720cm2，则它的高是_【答案】 【解析】【分析】作出图形，利用侧棱，斜高可得上下底边长之差，再利用侧面积列方程得到底边长， 最后利用直角三角形求高 【详解】解：如图，在 中， , ，- 9 -可得 ，设 ，则 ，得 ，在 中， ，可得 ，即四棱台的高为 ，故答案为： 【点睛】此题考查了四棱台侧棱，斜高，底边，高之间的
11、关系，属于基础题15.若正三棱锥的三个侧面两两垂直，侧棱长为 a，顶点都在一个球面上，则该球的半径为_【答案】【解析】【分析】由三棱锥的三条侧棱两两垂直，把该三棱锥补形为正方体，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用正方体的对角线长公式算出球的半径即可【详解】解：如图，- 10 -正三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，侧棱长 ，补形为正方体， 则其外接球的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求法，训练了分割补体法，考查长方体的对角线长公式，属于中档题 16.下列说法中，正确的是_（填上所有符合条件的序号）y=e -x在 R 上为增函数任取 x0，均有 3x2 x函数
12、y=f（x）的图象与直线 x=a 可能有两个交点y=2 |x|的最小值为 1；与 y=3x的图象关于直线 y=x 对称的函数为 y=log3x【答案】【解析】【分析】由指数函数的单调性，可判断；由指数函数的单调性可判断；由函数的定义可判断；由指数函数的单调性及奇偶性可判断；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断【详解】解：对于， 在 上为减函数，故错；对于，任取 ，均有 ，故正确；对于，函数 的图象与直线 最多有一个交点，故错；对于， ，由 ，可得 ，可得 的最小值为 1，此时 ，故正确；对于，与 的图象关于直线 对称的函数为 ，故正确- 11 -故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性和最值，
13、以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知集合 ， .若 ，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：根据条件得到 ，从而可讨论 是否为空集，从而得出关于 不等式或不等式组，得出 范围求并集即可得出实数 的取值范围.试题解析： ，又 ， 或 ，当 时，有， ，当 时，如图所示：由数轴，可得 ，解得 ，综上，可得实数 取值范围是 .18.菱形 ABCD 中，A（-4，7） ，C（2，-3） ，BC 边所在直线过点 P（3，-1） 求：（1）AD 边所在直线的方程；（2）对角线 BD 所在直线的方程【答案】 （1）2x-y+15=0
14、； （2）3x-5y+13=0.【解析】【分析】（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出【详解】 （1）k BC= =2，ADBC，k AD=2，直线 AD 方程为 y-7=2（x+4） ，即 2x-y+15=0。（2）k AC= =- ，菱形对角线互相垂直，BDAC，k BD= -，- 12 -而 AC 中点（-1，2） ，也是 BD 的中点， 直线 BD 的方程为 y-2= （x+1） ，即 3x-5y+13=0【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、菱形的性质，考查了
15、推理能力与计算能力，属于基础题.19.已知函数 f（x）=x 2+2 ax+3a+2（1）若函数 f（x）的值域为0，+） ，求 a 的值；（2）若函数 f（x）的函数值均为非负实数，求 g（a）=2-a|a+3|的取值范围【答案】 （1）a=- ，或 a=2； （2）-8， .【解析】【分析】（1）若函数 的值域为 ， ，则 ，解得 的值；（2）若函数 的函数值均为非负实数，则 ，进而可得函数的 （a）的值域【详解】 （1）函数的值域为0，+） ， ，解得：a=- ，或 a=2.（2）对一切实数函数值均为非负， ，解得：- a2,a+30，g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-（a
16、+ ） 2+ -,二次函数 g（a）在- ，2上单调递减，g（2）=-8g（a）g（- ）=g（a）的值域为-8， 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于基础题20.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1，底面ABC 的边长 AB=1，侧棱长为 ，P 是 A1B1的中点，- 13 -E、F 分别是 AC，BC，PC 的中点（1）求 FG 与 BB1所成角的大小；（2）求证：平面 EFG平面 ABB1A1【答案】 （1）30； （2）见解析.【解析】【分析】（1）连接 ，可得 ，则 与 所成角即为 与 所成角然后求解三角形得答案；（2）由
17、（1）可得，直线 平面 ，再证明 ，由面面平行的判定可得平面平面 【详解】 （1）解：连接 PB，G，F 分别是 PC，BC 的中点，GFBP，PB 与 BB1所成角即为 FG 与 BB1所成角在 RtPB 1B 中，由 ，可得 ，FG 与 BB1所成角的大小为 30；（2）证明：由（1）可得，直线 FG平面 ABB1A1，E 是 AC 的中点，EFAB，AB平面 ABB1A1，EF平面 ABB1A1，EF平面 ABB1A1，EF 与 FG 相交，EF平面 EFG，GF 平面 EFG，- 14 -平面 EFG平面 ABB1A1【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训
18、练了异面直线所成角的求法，是中档题21.如图，四边形 ABCD 是圆柱 OO的轴截面，点 P 在圆柱 OO的底面圆周上，圆柱 OO的底面圆的半径 OA=1，侧面积为 2，AOP=60（1）求证：PB平面 APD；（2）是否存在点 G 在 PD 上，使得 AGBD；并说明理由（3）求三棱锥 D-AGB 的体积【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） .【解析】【分析】（1）由 为圆 的直径，可得 ，再由 平面 ，得 ，然后利用线面垂直的判定可得 平面 ；（2）存在，当点 是 中点时， 由侧面积公式求得 ，进一步得到 ，由 是 的中点，可得 ，再由（1）得 ，由线面垂直的判定可得 平面，则
19、 ；（3）直接利用等积法求三棱锥 的体积【详解】 （1）证明：AB 为圆 O 的直径，PBPA，AD平面 PAB，PBAD，又 PAAD=A，PB平面 APD；- 15 -（2）解：存在当点 G 是 PD 中点时，AGBD事实上，由题意可知，21AD=2，解得 AD=1由AOP=60，可得AOP 为等边三角形，得到 AP=OA=1在 RtPAD 中，AD=AP，G 是 PD 的中点，则 AGPD由（1）得 PBAG，PDPB=P，AG平面 PBD，则 AGBD；（3） ，在 RtAPB 中，AB=2，AP=1，PB= ， 【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面间位置关系的判定，考查空间想
20、象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题22.已知函数 f（x）=log a （a0 且 a1） （1）求 f（x）的定义域；（2）当 0a1 时，判断 f（x）在（2，+）的单惆性；（3）是否存在实数 a，使得当 f（x）的定义域为m，n时，值域为1+log an，1+1og am，若存在，求出实数 a 的范围；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ； （2）见解析；（3）存在这样的实数 a（0， ）符合题意.【解析】【分析】（1）由对数式的真数大于 0 求解函数的定义域；（2）利用分离常数法判断真数 的单调性，再由复合函数的单调性得答案；- 16 -（3）把 的定义域为
21、， 时值域为 ， 转化为 在 上为减函数，进一步得到 在 上有两个互异实根，令 ，转化为关于 的不等式组求解【详解】 （1）由 0，得 x-2 或 x2f（x）的定义域为（-，-2）（2，+） ；（2）令 t（x）= =1- ，t（x）在（2，+）上为增函数，又 0a1，f（x）在（2，+）上为减函数；（3）假设存在这样的实数 a，使得当 f（x）的定义域为m，n时，值域为1+logan，1+1og am，由 mn 且 1+logan，1+1og am，即 mn1+log an，1+1og am，可得 0a1t（x）=1- 在（2，+）上为增函数，又0a1，f（x）在（2，+）上为减函数， ， ，即 在（2，+）上有两个互异实根，令 g（x）=ax 2+（2a-1）x+2，则 ，解得 0a 又0a1，故存在这样的实数 a（0， ）符合题意【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题- 17 -
