1、- 1 -2019 年春四川省泸县第一中学高三二诊模拟考试数学（理）试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则 BAA B C D2已知复数 与 为共轭复数，其中 ， 为虚数imnz)12()1inz)2(2Rnm,单位，则
2、 =A1 B C D353设 x，y 满足约束条件 则 的最小值是01xyyxz2A-7 B-6 C-5 D-34关于函数 ，下列叙述正确的是 xfcosin)(A关于直线 对称 B关于点 对称2)0,2(C最小正周期 TD图象可由 的图像向左平移 个单位得到xysin45执行如图所示的程序框图，则输出 的值为 nA63 B47 C23 D76若向量 ，满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为ba,12b)(ba- 2 -A B C D4343657在区间 内任取两个实数 与 ，则满足 的概率等于 1,0xy2xA B C D11328若 展开式的常数项为 60，则 值为 6)(xaaA4 B C2
3、 D429已知偶函数 在 单调递增，则对实数 , 是 的 )(f,0ba)(bfA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A B C D6141312111已知矩形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折AEF起，使二面角 的大小为 ，则过 ， ， ， ， ， 六点的球的表面积为CEF012A B C D12设双曲线 左、右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲)0(:2bayx 21,F1线左右两支于点 ，连结
4、 ， 若， ，则双曲线 的NM,2,F0.2NM2N离心率为A B C D2356第 II 卷（非选择题 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 ，则 31)sin(cos)3cs(14设 ，若 ，则 mba522bam15若 ，则满足不等式 f(3x 一 1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是 xef)(- 3 -16设数列 满足 ， ， ， ，则na142a93)4,(321nNaann.2018三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据
5、要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， nanS283852a（1）求 ； （2）设数列 的前 n 项和为 ，求证： na1nST4n18(12 分)某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持 不支持 合计中型企业 40小型企业 240合计 560已知从这 560 家企业中随机抽取 1 家，抽到支持技术改造的企业的概率为 .74（1）能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（2）从上述支持节能降耗的中小企业中按
6、分层抽样的方法抽出 12 家企业，然后从这 12 家企业选出 9 家进行奖励，分别奖励中型企业 50 万元，小型企业 10 万元.设 为所发奖励的金额.求 的分布列和期望. 附：0.05 0.025 0.013.841 5.024 6.635- 4 -19.(12 分)如图,矩形 和菱形 所在的平面相互垂直, , 为 的ABCDEF60ABEG中点.(1)求证： 平面 ；G(2)若 ,求二面角 的余弦值.3G20.（本小题满分 12 分）直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知 ，l21(0)yxab1(,)Axy2(,)Bm),(1byax，若椭圆的离心率 ，又经过点 ， 为坐标原点n),(2ba
7、32e3,1O（1）求椭圆的方程；（2）当 时,试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说mAOB明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 .2ln1afxx(1)讨论函数 的单调性；f(2)若函数 存在两个极值点 且满足 ，求 的取值范围.fx12,x124fxfa- 5 -请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半xOy24xyx轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .Ccos1（1）求圆 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；（
8、2）已知 ， 是曲线 与 轴的两个交点，点 为圆 上的任意一点，证明： MNxPO为定值.2|P23.【选修 4-5：不等式选讲】设函数 ， ，其中 .()3fxax()13gx0a（）求不等式 的解集；5g（）若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.1xR2x12()fxga- 6 -2019 年春四川省泸县第一中学高三二诊模拟考试数学（理）试题参考答案1D 2D 3B 4C 5C 6A 7B 8D 9D 10A 11B 12B13 14 15 1617.解：（1）设公差为 d，由题 解得 ， 112892ad， ， 13a2d所以 21na（2） 由（1） ， ，则有 n 2(3
9、)2nSn则 1()(2)nS所以 T11()()()()34352nn11(22n18解：（1）由从这 560 家企业中随机抽取 1 家，抽到支持技术改造的企业的概率为 .可知：支持技术改造的企业共有 320 家，故列联表为支持 不支持 合计中型企业 80 40 120小型企业 240 200 440合计 320 240 560所以故能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.（2）由（1）可知支持技术改造的企业中，中小企业比为 1:3.所以按分层抽样的方法抽出12 家企业中有 3 家中型企业，9 家小型企业.选出的 9 家企业的可能情况是
10、 、 、 .（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）- 7 -的所有可能取值为 90、130、170、210（万元）， ，故 的分布列为90 130 170 210所以 （万元）.19.()证明：矩形 和菱形 所在的平面相互垂直, ,ABCDEFADB矩形 菱形 , 平面 ,ABEF 平面 , ,AGEFG菱形 中, , 为 的中点 ,即B60ABEGAF , 平面 DDF()解：由()可知 两两垂直,以 A 为原点, AG 为 x 轴, AF 为 y 轴, AD 为 z 轴,建,立空间直角坐标系,设 ,则 ,故 , ,3ABC31,2BG(0)3(1)2C, ,(01)D(0)2G则 ,
11、, ,3,AC(1)AD3(0)2设平面 的法向量 ,1nxyz则 ,取 ,得 ,11302nxADz131(,30)nABDEFGxyz- 8 -设平面 的法向量 ,ACG22(,)nxyz则 ,取 ,得 2230nx22(0,3)n设二面角 的平面角为 ,则 DCAG1221cos7|n易知 为钝角,二面角 的余弦值为720.解 ： （1） 223314cabe2,1ab椭圆的方程为yx（2）当直线 斜率不存在时，即 ，AB2121,xy由已知 ，得nm021404xy又 在椭圆上， 所以 1(,)xy2111|,|2xy,三角形的面积为定值 121|Sxy当直线 斜率存在时：设 的方程为
12、ABABkxt222(4)4014ykxtxkt必须 即 得到 ， 022()ktt124ktx214txk ，nm121212404()0xyktt代入整理得： tk 2112|()4SABtxx- 9 -所以三角形的面积为定值22|4164|tktt21.解：(1)定义域为 ，xa且，22112xfxa当 或 时， 恒成立，a00f当 时，由 得 或 ，2fx2a2xa于是结合函数定义域的分析可得：当 时，函数 在定义域 上是增函数；afx1,当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，12f,12a于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在fx1,2a,上是增函数，2,a当 时，函数 定义域为 ，
13、1fx1,于是 在 上为减函数，在 上为增函数，fx,当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，01afx1,a12a于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在fx,2a2,a上是减函数，在 上是增函数，,2a2,a当 时，函数 定义域为 ，0fx1,于是 在 上是增函数，在 上是增函数.fx1,a,a(2)由(1)知 存在两个极值点时， 的取值范围是 ，f 0,1,2由(1)可知， ，120xa1212121212 2lnln1lnaxafxfxxxxa- 10 -；22 24ln1ln1aaa不等式 化为 ，12fxf2l 0令 ，所以 ，0,at1,t令 ， ，2lngtt,0,t当 时， ，
14、， ，所以 ，不合题意；1,0t2lngttln0t2t0gt当 时， ， ，,tltt 2211 tgttt所以 在 上是减函数，所以 ，适量题意，即 .gt0,1ln0t 1,2a综上，若 ，此时正数 的取值范围是 .124fxfa1,222 （1）圆 的参数 方程为 ， （ 为参数） ，O2xcosy由 得： ，即 ，2cos22csin122csin1所以曲线 的直角坐标方程为 Cxy（2）由（1）知 ， ，可设 ，所以 1,0M,0N2cos,iP22|PMN222cossincos1sin54cos10所以 为定值 10.|P23解析：（I）不等式 ，则()|5|gx|3| |x|5 |3x115315x或 或解得： 或 ，即2x32所以不等式 的解集为 ()|5|g|x（II）设 的值域为 , 的值域为 fxN()gM- 11 -对任意的 ，都存在 ，使得 等价于：1xR2x12()fxgNM而 ()3,)g当 时， 不满足题意；9a(|3|=4|0fxax当 时， ，由 得 ，得 ，0)|af N|3a-0a不满足题意；当 时， ，由 得 ，得 ，满9a()|3|3|afxax M|3a-18a足题意；综上所述，实数 的取值范围是： 18,)
